Обобщающий урок по теме "Показательные уравнения и методы их решения с применением компьютерных технологий", 11-й класс

Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени (отвечает учащийся).

Замечание учителя. Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.

Их можно решать только приближенно численными методами на компьютерах. А как же быть с экзаменационными задачами? Вся хитрость состоит в том, что экзаменатор так составляет задачу, что она как раз допускает аналитическое решение. Иными словами, Вы можете (и должны!) проделать такие тождественные преобразования, которые сводят данное показательное уравнение к самому простому показательному уравнению. Это самое простое уравнение так и называется: простейшее показательное уравнение. Оно решается логарифмированием.

Ситуация с решением показательного уравнения напоминает путешествие по лабиринту, который специально придуман составителем задачи. Из этих весьма общих рассуждений следуют вполне конкретные рекомендации.

Для успешного решения показательных уравнений необходимо:

1. Не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать лишних корней, а тем более, – не терять решений уравнения.

2. Активно знать все показательные тождества.

3. Четко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования уравнений (переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, не забыв про смену знака, приводить к общему знаменателю дроби и тому подобное). Это называется математической культурой. При этом сами выкладки должны делаться автоматически руками, а голова должна думать об общей путеводной нити решения. Делать преобразования надо как можно тщательней и подробней. Только это даст гарантию верного безошибочного решения. И помнить: небольшая арифметическая ошибка может просто создать трансцендентное уравнение, которое в принципе не решается аналитически. Выходит, Вы сбились с пути и уперлись в стенку лабиринта.

• определить тип уравнения;
• вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Этап обобщения и систематизации изученного материала.

Учителем совместно с учащимися с привлечением компьютера проводится обзорное повторение всех видов показательных уравнений и методов их решения, составляется общая схема. (Используется обучающая компьютерная программа Л.Я. Боревского "Курс математики – 2000", автор презентации в PowerPoint – Т.Н. Купцова .)

Рис. 1. На рисунке представлена общая схема всех типов показательных уравнений.

Как видно из этой схемы стратегия решения показательных уравнений состоит в том, чтобы привести данное показательное уравнение к уравнению, прежде всего, с одинаковыми основаниями степеней, а затем – и с одинаковыми показателями степеней.

Получив уравнение с одинаковыми основаниями и показателями степеней, Вы заменяете эту степень на новую переменную и получаете простое алгебраическое уравнение (обычно, дробно-рациональное или квадратное) относительно этой новой переменной.

Решив это уравнение и сделав обратную замену, Вы в результате приходите к совокупности простейших показательных уравнений, которые решаются в общем виде с помощью логарифмирования.

Особняком стоят уравнения, в которых встречаются лишь произведения (частные) степеней. Воспользовавшись показательными тождествами, удается эти уравнения привести сразу к одному основанию, в частности, – к простейшему показательному уравнению.

Рассмотрим, как решается показательное уравнение с тремя разными основаниями степеней.

(Если у учителя есть обучающая компьютерная программа Л.Я. Боревского "Курс математики – 2000" , то естественно работаем с диском, если нет – можно на каждую парту сделать распечатку такого типа уравнения из нее, представленную ниже.)

Рис. 2. План решения уравнения.

Рис. 3. Начало решения уравнения

Рис. 4. Окончание решения уравнения.

Приложение 3 (раздаточный материал в Word для практической работы).

1. Три разных основания степеней
2. Два разных основания – разные показатели степени
3. Основания степеней – степени одного числа
4. Одинаковые основания – разные показатели степеней
5. Одинаковые основания степеней – одинаковые показатели степеней
6. Произведение степеней
7. Два разных основания степеней – одинаковые показатели
8. Простейшие показательные уравнения

Выполняется попарная взаимопроверка с выставлением оценок.

А теперь решим с вами одно из нестандартных показательных уравнений, которые необходимо научиться решать при подготовке к ЕГЭ (задание уровня С).

№218* (См. А.В. Столин. Комплексные упражнения по математике с решениями, 7-11 классы. Харьков, ИМП “Рубикон”, 1995)

Определить тип уравнения и решить его.

Выставление оценок за урок.

Схема ответов практической работы.

1. Три разных основания степеней
2. Два разных основания – разные показатели степени
3. Основания степеней – степени одного числа
4. Одинаковые основания – разные показатели степеней
5. Одинаковые основания степеней – одинаковые показатели степеней
6. Произведение степеней
7. Два разных основания степеней – одинаковые показатели
8. Простейшие показательные уравнения

1. (произведение степеней)

2. (одинаковые основания – разные показатели степеней)

3. (три разных основания степеней)

4. (два разных основания степеней – одинаковые показатели)

5. (одинаковые основания – одинаковые показатели степеней)

6. ( (простейшее показательное уравнение)

7. (два разных основания – разные показатели степени)

8. (основания степеней – степени одного числа)

1) (три разных основания степеней)

2) (два разных основания – разные показатели степени)

3) 0,125 (произведение степеней)

4) (одинаковые основания – разные показатели степеней)

5) (основания степеней – степени одного числа)

В зависимости от уровня подготовленности класса и, соответственно, темпа урока в оставшееся время можно познакомить учащихся с обучающей компьютерной с программой Л.Я. Боревского "Курс математики – 2000" и с её помощью рассмотреть решение показательного уравнения № 8.41. (Учитель проводит беседу с привлечением компьютера и разбор уравнения типа "Три разных основания степеней".)