Математические основы общей теории относительности

В этой статье рассматривается математический базис общей теории относительности.

Фридмана — Леметра — Робертсона — Уолкера

Содержание

Исходные положения

Наше интуитивное восприятие указывает нам, что пространство-время является регулярным и непрерывным, то есть не имеет «дыр». Математически эти свойства обозначают, что пространство-время будет моделироваться гладким дифференцируемым многообразием 4 измерений M4 , то есть пространством размерности 4, для которого окрестность каждой точки походит локально на четырёхмерное псевдоевклидово пространство. Гладкость здесь означает достаточную дифференцируемость, пока без уточнения её степени.

Геометрия пространства-времени

NB Эта статья следует классическим соглашениям знаков Мизнера, Торна и Уилера [1]

В этой статье принимается также соглашение Эйнштейна для суммирования по повторяющимся индексам.

Дифференцируемое многообразие [2] M, снабжённое лоренцевым метрическим тензором g, и представляет собой таким образом Лоренцево многообразие, которое составляет частный случай псевдориманова многообразия (определение «лоренцев» будет уточнено дальше в тексте; см. ниже раздел "Лоренцева метрика").

Возьмём какую-нибудь систему координат x μ в окрестности точки P , и пусть — локальный базис в касательном пространстве TxM к многообразию M в точке . Касательный вектор запишется тогда как линейная комбинация базисных векторов:

При этом величины называются контравариантными компонентами вектора w. Метрический тензор тогда — симметричная билинейная форма:

где через dx μ обозначен дуальный по отношению к базис в кокасательном пространстве , то есть такие линейные формы на TxM , что:

Далее будем предполагать, что компоненты gμν(x) метрического тензора меняются в пространстве-времени непрерывно [3] .

Метрический тензор, таким образом, может быть представлен действительной симметричной матрицей 4x4:

Вообще любая действительная матрица 4x4 имеет априори 4 x 4 = 16 независимых элементов. Условие симметрии уменьшает это число до 10: на самом деле, остаётся 4 диагональных элемента, к которым надо добавить (16 — 4)/2 = 6 недиагональных элементов. Тензор gμν обладает, таким образом, только 10 независимыми компонентами.

Метрический тензор определяет для каждой точки многообразия псевдо-скалярное произведение («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора); см. Лоренцева метрика) в касательном к многообразию M в точке x псевдоевклидовом пространстве TxM . Если и — два вектора TxM , их скалярное произведение запишется как:

В частности, взяв два базисных вектора, получаем компоненты:

Замечание: если величины w μ обозначают контравариантные компоненты вектора w, то можно определить также его ковариантные компоненты как:

Рассмотрим вектор элементарного перемещения между точкой P и бесконечно близкой точкой: . Инвариантной инфинитезимальной нормой этого вектора будет действительное число, обозначаемое ds 2 , называемое квадратом интервала, и равное:

Если обозначить компоненты вектора элементарного перемещения «по-физически» ε μ = dx μ , инфинитезимальный квадрат длины (интервала) запишется формально как:

Внимание: в этой формуле, а также и далее, dx μ представляет собой действительное число, которое интерпретируется физически как «инфинитезимальное изменение» координаты x μ , а не как дифференциальная форма!

Уточним теперь выражение «лоренцева» (точнее локально лоренцева), которое означает, что метрический тензор имеет сигнатуру (1,3) и локально совпадает в первом порядке с лоренцевой метрикой специальной теории относительности. Принцип эквивалентности утверждает, что можно «стереть» локально поле гравитации, выбирая локально инерциальную систему координат. С математической точки зрения такой выбор является переформулировкой известной теоремы о возможности приведения квадратичной формы к главным осям.

В такой локально инерциальной системе координат X α в малой окрестности точки P , инвариант ds 2 запишется как:

где ηαβ является метрикой пространства-времени Минковского, а δαβ имеет второй порядок малости по координатам X α . Принимая соглашение знаков Мизнера, Торна и Уилера, имеем [1] :

Далее используются следующие обычные соглашения:

• греческие индексы меняются от 0 до 3. Они соответствуют величинам в пространстве-времени.
• латинские индексы меняются от 1 до 3. Они соответствуют пространственным составляющим величин в пространстве-времени.

Например, 4-вектор положения запишется в локально инерциальной системе координат как:

Внимание: на самом деле конечные, а не инфинитезимальные приращения координат не образуют вектора. Вектор из них возникает лишь в однородном пространстве нулевой кривизны и тривиальной топологии.

Лоренцев характер многообразия M обеспечивает, таким образом, то, что касательные к M в каждой точке псевдоевклидова пространства будут обладать псевдоскалярными произведениями («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора)) с тремя строго положительными собственными значениями (соответствующими пространству) и одним строго отрицательным собственным значением (соответствующим времени). В частности, элементарный интервал «собственного времени», отделяющий два последовательных события, всегда:

Обобщенно, аффинной связностью называется оператор , который приводит в соответствие векторному полю из касательного пучка TM поле эндоморфизмов этого пучка. Если — касательный вектор в точке , обычно обозначают

Говорят, что является «ковариантной производной» вектора в направлении . Предположим к тому же, что удовлетворяет дополнительному условию: для любой функции f справедливо

Ковариантная производная удовлетворяет следующим двум свойствам линейности:

• линейность по w, то есть, какими бы ни были поля векторов w и u и действительные числа a и b, мы имеем:

• линейность по V, то есть, какими бы ни были поля векторов X и действительные числа a и b, мы имеем:

Как только ковариантная производная определена для полей векторов, она может быть распространена на тензорные поля с использованием правила Лейбница: если и — два любых тензора, то по определению:

Ковариантная производная поля тензора вдоль вектора w есть снова поле тензора того же типа.

Можно доказать, что связность, ассоциированная с метрикой — связность Леви-Чивиты [1], является единственной связностью, помимо предыдущих условий дополнительно обеспечивающей то, что для любых полей векторов X, Y, Z из TM

• (метричность — тензор неметричности равен нулю).

• , где — коммутатор Ли от X и Y (отсутствие кручения — тензор кручения равен нулю).

Ковариантная производная вектора есть вектор, и, таким образом, она может быть выражена как линейная комбинация всех базисных векторов:

где Γ ρ представляют собой компоненты вектора ковариантной производной в направлении (эта составляющая зависит от выбранного вектора w).

Чтобы описать ковариантную производную, достаточно описать её для каждого из базисных векторов вдоль направления . Определим тогда символы Кристоффеля (или просто кристоффели) Γ ρ μν, зависящие от 3 индексов [4]

Связность Леви-Чивита полностью характеризуется своими символами Кристоффеля. Согласно общей формуле

для вектора V:

Зная, что , получаем:

Первый член этой формулы описывает «деформацию» системы координат по отношению к ковариантной производной, а второй — изменения координат вектора V. При суммировании по немым индексам мы можем переписать это соотношение в форме

Из этого получаем важную формулу для компонент:

Используя формулу Лейбница, таким же образом можно продемонстрировать, что:

Чтобы вычислить эти составляющие в явной форме, выражения для символов Кристоффеля должны быть определены, исходя из метрики. Их легко получить, написав следующие условия:

Расчёт этой ковариантной производной приводит к

где — компоненты «обратного» метрического тензора, определенные уравнениями

Символы Кристоффеля «симметричны» [5] по отношению к нижним индексам:

Замечание: иногда определяются также следующие символы:

Тензор кривизны Римана R — тензор 4-ой валентности, определёный для любых векторных полей X, Y, Z из M как

Его компоненты в явной форме выражаются из метрических коэффициентов:

Симметрии этого тензора:

Он удовлетворяет также следующему соотношению:

Тензор Риччи — тензор валентности 2, определенный свёрткой тензора кривизны Римана

Его компоненты в явном виде через символы Кристоффеля:

Этот тензор симметричен: .

Скалярная кривизна является инвариантом, определяемым свёрткой тензора Риччи с метрикой

Уравнения Эйнштейна

Уравнения гравитационного поля, которые называются уравнениями Эйнштейна, записываются так

где Λ — космологическая константа, c — скорость света в вакууме, G — гравитационная постоянная, которая появляется также в законе всемирного тяготения Ньютона, а Tμν — тензор энергии-импульса.

Симметричный тензор gμν имеет только 10 независимых составляющих, тензорное уравнение Эйнштейна эквивалентно системе 10 независимых скалярных уравнений. Эта система 10 связанных нелинейных уравнений в частных производных в большинстве случаев очень трудна для изучения.

Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T00 — объёмная плотность энергии. Она должна быть положительной.
• T10, T20, T30 — плотности компонент импульса.
• T01, T02, T03 — компоненты потока энергии.
• Под-матрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент:

— матрица потоков импульсов. В механике жидкости диагональные компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице , где есть плотность массы, а — гидростатическое давление.

Примечания

1. ↑ 12 C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler ; Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0. или Ч. МИЗНЕР, К. ТОРН, Дж. УИЛЕР. ГРАВИТАЦИЯ. том I—III. М. Мир, 1977.
2. ↑ Далее мы везде не пишем индекс 4, уточняющий размерность многообразия «M».
3. ↑ Более точно, они должны быть по крайней мере класса C 2 .
4. ↑ Внимание, символы Кристоффеля не являются тензорами.
5. ↑ Слово «симметричны» взято в кавычки, так как эти индексы в силу своего происхождения — не тензорные.

• Математическая формулировка общей теории относительности
• Гравитация с массивным гравитоном
• Геометродинамика (англ.)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Математические начала натуральной философии — Титульный лист «Начал» Ньютона Математические начала натуральной философии (лат. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica)  фундаментальный труд Ньютона, в котором он сформулировал закон всемирного тяготения и три закона Ньютона,… … Википедия

Альтернативные теории гравитации — Альтернативными теориями гравитации принято называть теории гравитации, существующие как альтернативы общей теории относительности (ОТО) или существенно (количественно или принципиально) модифицирующие ее. К альтернативным теориям гравитации… … Википедия

Специальная теория относительности — Почтовая марка с формулой E = mc2, посвящённая Альберту Эйнштейну, одному из создателей СТО. Специальная теор … Википедия

МОНД — Альтернативными теориями гравитации принято называть теории гравитации, существующие как альтернативы общей теории относительности или существенно (количественно или принципиально) модифицирующие ее. К альтернативным теориям гравитации часто… … Википедия

Важнейшие открытия в физике — История технологий По периодам и регионам: Неолитическая революция Древние технологии Египта Наука и технологии древней Индии Наука и технологии древнего Китая Технологии Древней Греции Технологии Древнего Рима Технологии исламского мира… … Википедия

Начала Ньютона — Математические начала натуральной философии (лат. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) фундаментальный труд Ньютона, в котором он сформулировал закон всемирного тяготения и три закона Ньютона, заложившие основы классической механики.… … Википедия

СССР. Естественные науки — Математика Научные исследования в области математики начали проводиться в России с 18 в., когда членами Петербургской АН стали Л. Эйлер, Д. Бернулли и другие западноевропейские учёные. По замыслу Петра I академики иностранцы… … Большая советская энциклопедия

Физика — I. Предмет и структура физики Ф. – наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи и законы её движения. Поэтому понятия Ф. и сё законы лежат в основе всего… … Большая советская энциклопедия

Дирак, Поль Адриен Морис — Поль Адриен Морис Дирак Paul Adrien Maurice Dirac Дата рождения: 8& … Википедия

Математика — I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия