Оси естественного трехгранника Френе

На странице “Кинематика материальной точки” мы установили, что вектор скорости движения точки направлен по касательной к траектории. Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и его можно разложить на две составляющие. Одна составляющая направлена по касательной к траектории. Вторая составляющая направлена перпендикулярно касательной, в сторону мгновенного центра кривизны траектории.

В некоторых случаях удобно ввести систему координат, связанную с текущим положением точки. Рассмотрим точку в определенный момент времени. Считаем, что нам известна траектория ее движения. Проведем через точку три прямых – касательную к траектории, главную нормаль и бинормаль. Главная нормаль перпендикулярна касательной и направлена в сторону мгновенного центра кривизны траектории. Бинормаль перпендикулярна касательной и главной нормали. Выберем систему координат с началом в точке и осями, направленными вдоль этих прямых. Такую систему координат называют естественным трехгранником Френе. Оси этой системы координат называются осями естественного трехгранника.

Орты естественного трехгранника

Пусть , и – единичные векторы, направленные вдоль касательной, главной нормали и бинормали к траектории, соответственно. Эти векторы являются ортами выбранной нами системы координат или ортами естественного трехгранника. Рассмотрим вопрос о выборе направления этих векторов.

Единичный вектор направлен вдоль касательной к траектории. Поэтому можно выбрать два взаимно противоположных направления. Самый удобный способ – это направить вдоль вектора скорости точки. Тогда . Однако, это не всегда можно сделать. Встречаются случаи, когда траектория движения заранее известна, а скорость – нет. Например, при движении точки по желобу внутри твердого тела под действием внешних сил. В таких случаях направление вектора выбирают заранее. Например, в сторону возрастания дуговой координаты.

Направление единичного вектора главной нормали определено однозначно. Он направлен перпендикулярно , в сторону мгновенного центра кривизны траектории.

Единичный вектор бинормали направлен перпендикулярно векторам и так, чтобы три вектора , и образовали правостороннюю систему координат: .

Применим формулы, которые мы вывели на странице “Кинематика материальной точки”.

То есть, в естественном трехграннике с ортами , скорость имеет одну компоненту: . Проекции вектора скорости на оси и трехгранника равны нулю. Проекцию скорости на направление единичного вектора касательной к траектории : , иногда называют алгебраической величиной скорости. Она отличается от модуля скорости только тем, что может иметь отрицательное значение: . При , скорость направлена вдоль вектора . При – в противоположную сторону.

Здесь и далее модуль скорости мы обозначаем либо символом с прямыми скобками , , либо просто символом без стрелки : .

Ускорение имеет две компоненты: , Через них выражается касательное и нормальное ускорения: . Они являются проекциями вектора ускорения на оси и естественного трехгранника: . Их можно выразить через компоненту скорости и радиус кривизны траектории : . Компонента может быть как положительной (вектор сонаправлен с ), так и отрицательной (вектор противоположен ): . Компонента всегда положительна либо равна нулю: .

Проекция вектора ускорения на ось равна нулю: .

Как определить оси естественного трехгранника

Далее мы считаем, что у нас есть неподвижная система координат . Материальная точка совершает движение. Требуется найти оси естественного трехгранника. То есть определить проекции ортов , и в системе координат .

Для координатного и векторного способов задания движения точки, формулы для определения ортов представлены на странице “Кинематика материальной точки”. На странице “Координатный способ задания движения точки” разобран пример вычисления компонентов векторов .

То есть, чтобы определить орты естественного трехгранника, нужно найти компоненты векторов скорости и нормального ускорения , применяя следующие формулы: ; ; ; .

Далее определяем орты естественного трехгранника: ; ; .

При естественном способе задания движения точки нам известна траектория ее движения. Поэтому перед нами стоит задача – по известной траектории, определить орты естественного трехгранника. Если траектория представляет собой простую геометрическую фигуру, например окружность, то определить векторы , и можно геометрически.

В общем, и более сложном случае, нужно представить уравнение траектории в параметрическом виде. Для этого вводим параметр . Это можно сделать многими способами. Поэтому желательно выбрать наиболее удобное представление.

Пусть, например, траекторией движения является эллипс, лежащий в плоскости : . Наиболее удобное параметрическое представление можно получить, если воспользоваться тригонометрической формулой: . Тогда уравнение траектории имеет вид: Здесь – параметр.

Это не единственный способ получить параметрическое представление. Можно, например, разрешить уравнение эллипса относительно : . Применяя эту формулу, получим другое параметрическое представление:

Далее считаем, что эти параметрические уравнения описывают движение материальной точки, в котором параметр играет роль времени. Тогда, для определения осей трехгранника, можно применить формулы, применяемые для векторного и координатного способов задания движения. Вычисленные, таким образом, скорость и ускорение будут зависеть от выбранного параметрического представления. Но геометрические характеристики траектории, такие как орты , , и радиус кривизны траектории не зависят от выбранного параметрического представления.

Итак, чтобы найти орты естественного трехгранника по заданной траектории движения, нужно представить уравнение траектории в параметрическом виде и применить формулы, применяемые при координатном способе задания движения.

Найти единичные векторы в направлении осей естественного трехгранника, а также радиус кривизны траектории, для цилиндрической винтовой линии с радиусом основания и шагом .

Выберем систему координат . Ось направим вдоль оси винтовой линии. Тогда уравнение линии можно представить в следующем параметрическом виде: (1) Здесь – параметр; . Если взять проекцию точки линии, на плоскость , то – это угол между осью и проекцией . При увеличении на , координаты и точки возвращаются в первоначальной положение, а координата увеличивается на .

Считаем, что уравнения (1) описывают движение точки по винтовой линии. Определяем кинематические величины для такого движения.

Дифференцируя уравнения (1) по , находим компоненты вектора скорости: ; ; .

Квадрат скорости: . Модуль скорости: .

Единичный вектор в направлении касательной к траектории: . Мы выбрали направление вектора , совпадающим с направлением скорости. Поэтому .

Дифференцируя компоненты вектора скорости по , находим компоненты вектора ускорения: ; ; .

Проекция ускорения на направление вектора : . Этот результат можно получить и более простым способом. Для этого учтем, что модуль скорости и, следовательно , не зависит от . Тогда: . Вектор касательного ускорения: .

Вектор нормального ускорения: .

Квадрат вектора нормального ускорения: . Модуль вектора нормального ускорения: .