Физика_1 / Физика_Шилова / Часть2-1
Пример 1. Написать уравнение гармонического колебания материальной точки с амплитудой А = 0,1 м, периодом Т = 2 с и начальной фазой φ0 = 0. Найти амплитудные значения скорости υmax и ускорения аmax; скорость υ и ускорение а в момент времени t = 1/6 c. Построить графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени.
Дано: А = 0,1 м;
Найти: υmax; аmax; υ; а.
Скорость материальной точки равна производной от смещения по времени:
Отсюда максимальная скорость
Ускорение определяется как производная от скорости точки по времени:
Амплитудное значение ускорения
Подставляя числовые значения в (1), (3) и (5), получим: , , .
Проведя вычисления по формулам (2) и (4), найдём значения скорости и ускорения в момент времени t = 1/6 с:
На рис.1 представлены графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени для материальной точки, совершающей гармоническое колебание при начальной фазе = 0.
Ответ: x = 0,1cоsπ∙t; max = 0,3 м/с; аmax = 1 м/с 2 ; = –0,16 м/с; а = – 0,85 м/с 2 .
Пример 2. Материальная точка массой m = 10 г колеблется по закону x = 0,05sin6t. Найти максимальную силу, действующую на точку, и её полную энергию. Построить графики зависимости потенциальной, кинетической и полной энергий от времени.
Дано: m = 10 г = 10 -2 кг;
x = 0,05sin6t.
Найти: Fmax; W.
F = ma, (1)
где a = 2 x– ускорение материальной точки.
F = m 2 x = mA 2 sint. (2)
По условию задачи А = 0,05 м, = 6 рад/c, следовательно
Кинетическая энергия гармонически колеблющейся точки
В процессе гармонических колебаний сила изменяется пропорционально смещению, поэтому в каждый момент времени потенциальная энергия материальной точки
где k = m 2 – постоянный коэффициент для данной системы.
Полная энергия колебаний определяется по формуле
Для построения графиков определим период колебаний материальн ой точки .
Рис. 2. Графики зависимости смещения, потенциальной, кинетической и полной энергий от времени при гармонических ко-лебаниях ( = 0)
Из графиков (рис. 2) и формул (3) и (4) следует, что Wп и Wк изменяются в противофазе, с частотой в 2 раза большей, чем частота колебаний материальной точки, а полная энергия W = Wп + Wк с течением времени не изменяется.
Ответ: Fmax = 18 мН; W = 0,45 мДж.
Пример 3. Как изменится период колебаний математического маятника при переносе его с Земли на Луну?
Дано: Мз = 5,98· 10 24 кг;
Мл = 7,33·10 22 кг;
Rз= 6,37·10 3 км = 6,37 ·10 6 м;
Rл= 1,74·10 3 км = 1,74·10 6 м.
Найти: Тз / Тл.
и , (1) где gз, gл – ускорения свободного падения на поверхности Земли и Луны, l – длина маятника.
Из закона всемирного тяготения находим ускорения gз и gл
где G – гравитационная постоянная.
Найдём отношение периодов колебаний маятника
Подставив числовые данные в (3), получим: .
Ответ: Период колебаний маятника на Луне больше, чем на Земле, в 2,5 раза.
Пример 4. Цилиндр высотой h = 10 см, плотность материала которого = 0,8·10 3 кг/м 3 , плавает в воде (рис. 3). Если его погрузить в воду несколько глубже, а затем отпустить, то цилиндр начнёт совершать колебания около положения равновесия. Считая колебания цилиндра гармоническими и незатухающими, определить период Т его колебаний.
Дано: h = 10 см = 0,1 м;
Найти: Т.
Решение: В задаче рассматриваются незатухающие колебания, поэтому силами сопротивлений можно пренебречь. На плавающий цилиндр действуют сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила Архимеда , направленная вертикально вверх. Сила тяжести при колебаниях цилиндра постоянна, а архимедова сила меняется, так как зависит от объёма его погружённой части.
Когда цилиндр плавает, колебания не наблюдаются, следовательно, векторная сумма сил равна нулю:
Выбрав вертикальную ось координат и проецируя на неё эти силы, получим
где V = S·x – объём погружённой части цилиндра в положении равновесия; S – площадь поперечного сечения; x – глубина погружения.
m = ·S·h. (2)
Небольшое погружение цилиндра в воду на некоторую глубину Δх относительно положения равновесия приводит к увеличению объёма погружённой части
V = S(x + Δx).
Архимедова сила увеличится
FA= в·gS(·x + Δx).
В результате равновесие нарушится, следовательно, равнодействующая сила
F = mg – F'A.
Цилиндр совершает гармонические колебания только в том случае, если сила в процессе колебаний изменяется пропорционально смещению Δх и направлена к положению равновесия:
Сравнивая выражения (3) и (4), находим
Если колебания совершаются под действием силы, изменяющейся по закону (4), то независимо от природы этой силы период колебаний
Подставив выражения (2) и (5) в формулу (6), получим:
Период колебаний цилиндра .
Ответ: Т = 0,56 с.
Пример 5. Звуковые колебания, имеющие частоту = 0,5 кГц и амплитуду А = 0,25 мм, распространяются в воздухе со скоростью = 340 м/с. Определить длину волны , фазу колебаний, смещение (х,t) и скорость частиц среды, отстоящих на расстоянии х1 = 0,4 м от источника волн в момент времени t = 2 мс.
Дано: = 0,5 кГц = 500 Гц;
А = 0,25 мм = 0,25·10 -3 м;
Найти: ; ; ; .
Решение: Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется колебание за один период (рис. 4):
Подставляя значения величин и , получим: .
Уравнение плоской волны:
где – смещение колеблющихся частиц, находящихся на расстоянии х от источника; – скорость распространения волны.
Фаза колебаний частиц с координатой х1 = 0,4 м в момент времени t = 2 мс определяется выражением
Взяв производную от смещения по времени, находим скорость :
Подставив значения величин в выражения (2), (3), (4), в момент времени t = 2 с для частиц среды с координатой х = 0,4 м получим:
фазу колебаний или = 148 º;
Ответ: = 0,68 м; = 2,58 рад; = 0,21 мм; .
Пример 6. Волны частотой ν = 0,5 кГц распространяются со скоростью = 400 м/с. Чему равна разность фаз двух точек волны, если они удалены друг от друга на расстояние Δr = 0,2 м и лежат на прямой, перпендикулярной фронту волны?
Дано: =400 м;
ν = 0,5 кГц = 500 Гц;
Найти: Δ.
Из (1) и (2) следует
Ответ: Δ = 0,5 рад.
Пример 7. Длина волны красного света в вакууме (воздухе) 1 = 0,7 мкм. Какой будет длина волны 2 и её скорость распространения в воде? Какой цвет видит человек, открывший глаза в воде?
Дано: 1 = 0,7 мкм = 0,7·10 -6 м;
с =3·10 8 м/с;
Найти: 2; .
где с – скорость света в вакууме; – скорость света в среде.
Из формулы (1) находим скорость распространения света в воде: .
Длина волны света в вакууме . (2)
Длина волны в среде (3)
Воспринимаемый глазом цвет излучения зависит от частоты света, которая при переходе света из одной среды в другую не меняется. В воде человек увидит красный цвет.
Ответ: = 2,25·10 8 м/с; 2 = 0,53 мкм.
Пример 8. На какой диапазон длин волн и частот можно настроить колебательный контур радиоприёмника, если в контур включены катушка переменной индуктивности от L1 = 0,5 мкГн до L2 = 10 мкГн и конденсатор переменной ёмкости от С1 = 10 пФ до С2 = 500 пФ. Активным сопротивлением контура пренебречь.
Дано: L1 = 0,5 мкГн = 0,5·10 -6 Гн;
L2 = 10 мкГн = 10 -5 Гн;
С1 = 10 пФ = 10 -11 Ф;
С2 = 500 пФ = 5·10 -10 Ф;
Найти: от 1 до 2; от 1 до2.
= ·Т, (1)
где = 3·10 8 м/с – скорость распространения электромагнитных волн в вакууме.
Период колебаний идеального колебательного контура определяется по формуле
Минимальная длина волны диапазона
Длине волны 1 соответствует максимальная частота
Максимальная длина волны диапазона
ей соответствует минимальная частота
Подставив числовые значения величин в формулы (3), (4), (5), (6), получим: , , , .
Ответ: 1 = 0,2 м; 2 = 2,1 м; 1 = 15∙10 8 Гц; 2 = 1,43∙10 8 Гц.
Пример 9. Маленький шарик подвешен на нити длиной l = 1 м к потолку вагона. При какой скорости вагона шарик будет особенно сильно раскачивается под действием ударов колёс о стыки рельсов? Длина рельсов s = 12,5 м.
Дано: l = 1 м;
Найти: .
где – скорость движения вагона.
Размеры шарика малы по сравнению с длиной нити, поэтому период его колебаний определим как для математического маятника:
Частота собственных колебаний шарика
Амплитуда вынужденных незатухающих колебаний максимальна в случае резонанса, когда
Подставляя в условие (3) выражения (1) и (2), найдём
С учётом числовых значений .
Ответ: = 6,2 м/с.
Пример 10. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой М = 240 г, прикреплённый к невесомой пружине, жёсткость которой k = 40 кН/м. Другой конец пружины закреплён. В шар попадает пуля массой m = 10 г, имеющая в момент удара скорость 1 = 400 м/с, направленную вдоль оси пружины (рис. 5). Пуля застревает в шаре. Определить амплитуду колебаний шара.
Дано: М =240 г = 24·10 -2 кг;
k = 40 кН/м = 40·10 3 Н/м;
m =10 г = 10 -2 кг;
Найти: А.
Решение: Скорость шара 2 после неупругого удара (рис. 5а ) определяется из закона сохранения импульса:
В момент соударения пуля сообщает шару кинетическую энергию, вследствие чего шар и пуля начинают сжимать пружину. Сжатие пружины будет продолжаться до тех пор, пока вся кинетическая энергия движения шара и пули Е1 не перейдёт в потенциальную энергию деформации пружины Е2. Согласно закону сохранения энергии
Е1 = Е2. (3)
В начальный момент движения энергия колеблющейся системы
Е1 = Еш +Епр +Еп,
где Еш, Епр, Еп – энергии шара, пружины, пули, соответственно.
Учитывая, что в начале пружина не деформирована, то есть Епр = 0, а шар и пуля движутся со скоростью 2, находим
Потенциальная энергия пружины достигнет максимума, когда кинетическая энергия шара и пули станет равной нулю (рис. 5б). При этом смещение шара и пули от положения равновесия будет максимальным:
Еш = 0, Еп = 0, .