Соотношения между сторонами и углами треугольника: система уроков с применением уровневой дифференциации.

сторонами и углами треугольника» с применением уровневой дифференциации. В основу разработок этой системы уроков положен играющий ведущую роль в современной педагогической психологии личностно- деятельност­ный подход к обучению. Личностно - деятельностный подход к обучению предполагает, что все воздействия на учащегося как на субъект обучения с целью управления его учебной деятельностью преломляются через призму личности обучаемого, его индивидуально-психологические и психо­физиологические особенности. Из этого следует, что достигнуть оп­тимальных результатов обучения каждого учащегося можно лишь в том случае, если преподавание предмета вести на нескольких уров­нях сложности, обеспечивающих постепенный переход от уровня актуального развития к зоне ближайшего развития. Система уроков состоит из пяти конспектов. На каждом уроке проводится самостоятельная работа по уровням, причем каждый учащийся начина­ет с решения задач по индивидуальному варианту первого уровня сложности, однотипных с теми, которые рассматривались на пре­дыдущем этапе, решаются специально составленные учебные задачи. Содержание этих задач дик­туется, с одной стороны, требованием доступности для всех уча­щихся, а с другой - требованием отразить в них наиболее су­щественные связи и отношения между элементами изучаемых геометрических объектов. Доступность задач обеспечивается небольшим числом умозаключений, требующихся для их реше­ния, правилами постро­ения чертежей, а также опорой на хорошо известные учащимся ранее изученных теорем, определений и свойств треугольника. Все это позволяет вести на данном этапе фронтальную работу с классом, вовлекая в обсуждение решения задач как сильных, так и слабых учащихся. Практически в каждом конспекте присутствуют задачи на готовых чертежах, наличие которых помогает учителю наиболее рационально использовать время на уроке. Тестовые задания позволяют своевременно выявить пробелы в знаниях учащихся, экономя при этом время учителя. На пятом уроке проводится дифференцированная лабораторная работа по определению вида треугольника, которая проверяет знания у учащихся всей теории данной темы. Задание на дом дается учащимся дифференцировано.

Пояснительная записка.

Представленная система уроков является частью разработан­ной технологии внутриклассной уровневой дифференци­ации учебной деятельности школьников в преподавании курса геометрии 9-х классов основной школы.

Согласно деятельностному аспекту данного подхода, обучение ­- это двустороннее единство деятельности обучаемого и обучаю­щего по созданию условий для формирования у учащегося струк­туры обобщенных умственных действий, направленных на при­обретение им заданной системы знаний, умений и навыков. Со стороны учащегося процесс обучения выступает в форме учеб­ной деятельности, которая определяется психологами как спе­цифическая деятельность субъекта по его саморазвитию на ос­нове решения специально поставленных учителем учебных за­дач. Со стороны учителя - это организация учебной деятельно­сти учащегося, состоящая из двух взаимосвязанных компонен­тов: формирования ориентировочной основы действий, состав­ляющих содержание учебной деятельности, и целенаправленно­го управления этой деятельностью в процессе самостоятельной работы учащегося.

Структурной единицей учебного процесса в рассматриваемой технологии служит блок уроков, связанных одной темой. На первом уроке блока учащимся сообщается тема и ставятся цели ее изучения. Далее учитель переходит к этапу предварительно­го ознакомления учащихся с формируемой деятельностью. На этом этапе вводятся основные понятия изучаемой темы, решаются специально составленные учебные задачи. В целом этап предвари­тельного ознакомления обеспечивает понимание учащимися ос­новных понятий темы и содержания той деятельности, в кото­рую они включены и которая приводит к решению рассматрива­емого класса задач.

Следующий этап в изучении темы - самостоятельная работа учащихся, которая проводится дифференцированно на двух или трех уровнях сложности - в зависимости от объема темы.. Самостоятельная работа каждого учащегося начина­ется с решения по индивидуальному варианту задач первого уровня сложности, однотипных с теми, которые рассматривались на пре­дыдущем этапе. Однако функция этих задач в процессе обучения изменяется: если на предыдущем этапе они служили для раскры­тия деятельности, формирования ориентировочной основы состав­ляющих ее умственных действий, то теперь выступают как сред­ство усвоения этой деятельности.

Сильные учащиеся, справившиеся с набором задач первого уровня сложности , переходят к самостоятельной работе второго, более высокого уровня сложности. Слабым учащимся время, отведенное на самостоятель­ную работу, полностью предоставляется для решения задач первого уровня.

Следует также обратить внимание на изменение функции от­метки, происходящее при работе по рассматриваемой техноло­гии. Отметка «3» за работу по теме выставляется тем учащимся, которые справились только с задачами первого уровня, отметки « 4 » и «5» - тем, кто успешно закончил работу на втором уров­не. В результате оценка отражает не количество ошибок учаще­гося, как это происходит при работе по традиционной техноло­гии, а освоенный им уровень сложности. Это вносит элемент со­стязательности в работу учащихся и служит дополнительным фак­тором повышения успеваемости.

На изучение темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника» от­водится 5 уроков. Этот блок обеспечивает усвоение учащимися теорем синусов и косинусов и способов деятель­ности, необходимых для решения задач, связанных с решением треугольников.

Образовательные цели данных уроков:

- изучение и первичное закрепление понятий синуса, косинуса и тангенса (урок 1);

- изучение и закрепление теоремы о площади треугольника (урок 2);

- изучение и закрепление теорем синусов и косинусов (уро­к 3);

- решение треугольников с помощью теорем синусов и косинусов (уро­ки 4-5).

Изложение материала ведется с опорой на уже имеющиеся у уча­щихся знания соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника, теоремы о сумме углов треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Ниже приведена технологическая карта темы и подробные конспекты пяти уроков.

Предлагаемая система уроков геометрии ориентирована на работу по учебнику Л.С.Атанасяна. (Геометрия: Учебник для 7-9 классов» (М.: Просвещение, 2009); в разработке все ссылки даны на теоремы, номера задач и т.д. этого учебника

Технологическая карта темы

«Соотношения между сторонами и углами треугольника».

Что должен знать ученик, приступая к изучению темы :

Теорема : Сумма углов треугольника равна 180 0 .

Теорема : В треугольнике : 1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Определение 1:Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение 2: Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение 3: Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение противолежащего катета к прилежащему.

Таблица значений синусов, косинусов и тангенсов некоторых углов:

Что должен узнать ученик в процессе изучения темы :

Определение 1: Для любого острого угла α из промежутка 0 0 ≤ α ≤ 180 0 синусом

угла α называется ордината (у ) точки М, а косинусом угла α –

абсцисса ( х ) точки М.

Определение 2 : Тангенсом угла α (α ≠ 90 0 )называется отношение

Теорема : Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на

синус угла между ними.

Теорема (синусов) : Стороны треугольника пропорциональны синусам

Теорема ( косинусов) : Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух

других его сторон минус удвоенное произведение этих

сторон на косинус угла между ними.

Тема : Синус, косинус и тангенс угла.

Тип урока: Урок сообщения новых знаний.

Цели урока:

Ввести понятия синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180°.

Вывести основное тригонометрическое тождество и формулы для вычисления координат точки.

Рассмотреть формулы приведения sin (90° - α), cos (90° - α), sin (180° - α),

I . Организационный момент

II .Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос

- Что называется синусом острого угла прямоугольного треугольника?

- Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

- Что называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

- Какое равенство называется основным тригонометрическим тождеством?

П I . Математический диктант.

1 . Найдите синус угла А. А

2. Найдите тангенс угла В . 8

3. Чему равен косинус 60 0 ? В 6 С

4. Найдите cos α, если sin α = .

5. Найдите tg α, если cos α = .

6. В треугольнике АВС < С = 90 0 , sin А = . Найдите sin В :

7. Упростите выражение : sin 30 0 • cos 45 0 • tg 60 0

2 вариант. В

1. Найдите косинус угла В.

2. Тангенс угла А равен:

3.Синус 30 0 равен :

4. Найдите sin α, если cos α = .

5. Найдите tg α если sin α = .

6. В треугольнике АВС < С= 90 0 , sin А = . Найдите cos В :

7. Упростите выражение : sin 45 0 • cos 60 0 • tg 30 0

III . Изучение нового материала.

Ввести понятия синуса, косинуса, тангенса для углов от 0 0 до 180 0 , используя

∆ ОММ1 - прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора: OM1 2 + MM1 2 = ОМ 2

Основное тригонометрическое тождество:

сos 2 α + sin 2 α = 1

2. Формулы приведения:

sin (90° - α ) = cos α

cos (90° - α ) = sin α

sin (180° - α ) = sin α

cos (180° - α ) = -cos α

З. Составить таблицу значений синуса, косинуса и тангенса для углов 0°, 30 о , 45°, 60°, 90°, 120°, 135°,150°, 180°.

Значения синуса, косинуса, тангенса для углов от 0° до 90° уча­щиеся заполняют самостоятельно (это материал 8 класса). Значения синуса, косинуса, тангенса для углов 120°, 135°, 150°, 180° заполня­ют с помощью учителя, используя формулы приведения, единичную полуокружность и формулы sin α = у, cos α = х , t g α =

а ) sin 120° = sin( 180° - 60°) = sin 60° = .

в) sin 180° = О (ордината точки М при повороте радиуса ОМ на 180° от

положительной полуоси Ох равна о).

4. Вывести формулы для вычисления координат точки.

О М cos α ; sin α

х = ОА • cos α ; у = ОА • sin α

ОА ОА cos α ; ОА sin α

IV . Закрепление нового материала.

1.Разобрать решение задач №30 (а), 31 (а,в) из рабочей тетради.

2.Самостоятельно решить всем сидящим на 1 варианте задачу №30 (б), на 2 варианте – №31 (б) из рабочей тетради с последующей взаимопроверкой между парой, сидящей за одной партой

Задача №30.

Найдите по рисунку синус, косинус и тангенс угла:

а ) Угол АОМ образован лучом ОМ и положительной полуосью абсцисс, точка М лежит на единичной полуокружности. Значит, синус угла АОМ равен ординате точки М, т. е. sin AOM = 0,6. Косинус угла АОМ равен абсциссе точки М, т. е.

Тангенс вен , т . е . tg AOM = AM : ОА = ­

б) Синус угла ОАК равен ординате точки К, т. е.

Косинус угла АОК равен аб c циссе точки К, т. е. cos AOK = - 0,6.

Тангенс угла АОК равен co s AOK , т. е. tg AOK = -­

а ) sinAOM = 0,6; cos AOM = 0,8; tg AOM = .

б ) sin O AK= 0,8; cos AOK =- 0,6 ; tg AOK=-

Задача № 31.

Принадлежит ли единичной полуокружности точка:

а) Р ( - 0,6 ; 0,8) ; б) Т ( ; ) ; в) H ( ; ) .

Точка с координатами (х; у) принадлежит единичной полуокруж­ности, если выполнены два условия: 1) -1 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤1 и 2) х 2 + у 2 = 1.

Рассмотрим данные точки.

а) Точка Р: х = - 0,6, у = 0,8 удовлетворяют первому условию:

-1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1; х 2 + у 2 =(-0,6) 2 + 0,8 2 = 0,36 + 0,64 = 1,

следовательно, выполнено второе условие. Поэтому точка Р принадлежит единичной полуокружности.

б) Точка Т: х = , у = , следовательно, -1 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1.

Следовательно, второе условие не выполнено. Поэтому точка Т не принадлежит единичной полуокружности.

в) Точка Н: х = - , у = - значит, - 1 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1. Итак,

первое условие не выполнено. х 2 + у 2 = + = ; ≠ 1

Следовательно, второе условие не выполнено. Поэтому точка Н не принадлежит еди­ничной полуокружности.

б) не принадлежит;

в) не принадлежит.

3. Решить самостоятельно задачи № 1012, 1015 (а, б).

Задача № 1012.

Точка с координатами (х; у ) принадлежит единичной полуок­ружности, если выполняются условия: -1≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1 и х 2 + у 2 = 1. Точка М 1 (0; 1) удовлетворяет всем условиям она лежит на единичной полуокружности.

Точка М 2 ( ; ) удовлетворяет всем условиям, следовательно она лежит на единичной полуокружности.

Точки М 3 ( ; ) ; М 4 (- ; ) ; А (1 ; 0) ; В ( - 1 ; 0) также лежат на

Синус < АОМ – это ордината точки М. Косинус < АОМ – это абсцисса точки М. Тангенс < АОМ равен отношению синуса к его косинусу.

М 1 (0;1) sin АОМ 1 = 1, cos AOM 1 = 0, tg AOM 1 = 0.

М 3 ( ; ) sin АОМ 3 = , cos AOM 3 = , tg AOM 3 = : = 1

Задача № 1015.

Решение : а) cos α = 1 sin α = = = 0.

tg α = sin α : cos α = 0 : 1 = 0.

Так как 0 0 < α < 90 0 cos α > 0 cos α = .

tg α = sin α : cos α = : = 1.

Ответ : а) 0 ; б) 1.

V . Подведение итогов урока.

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на уровень сложности учебного материала:

Средней трудности материал.

Домашнее задание

пп. 93 – 95, вопросы 1 – 6.

1 уровень - № 32 (из рабочей тетради), №1011, 1015 ( в, г).

2 уровень - № 1011, 1015 (в, г), дополнительную задачу.

Дополнительная задача:

Точка В единичной окружности имеет координаты:

Найдите угол, который образует луч ОВ с положительной полуосью Ох.

Тема : Теорема о площади треугольника

Тип урока: Урок сообщения новых знаний.

Цели урока:

Рассмотреть теорему о площади треугольника.

Научить учащихся решать задачи на применение теоремы о пло­щади треугольника.

Развивать умение пользоваться основным тригонометрическим тождеством и находить координаты точки.

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний. Повторение теории.

Теоретический опрос

- Что называется синусом угла α из промежутка 0 ≤ α ≤ 180 0 ?

- Что называется косинусом угла α из промежутка 0 ≤ α ≤ 180 0 ?

- Что называется тангенсом угла α?

- Для какого значения α тангенс не определен и почему?

- Какое равенство называется основным тригонометрическим тождеством?

Самостоятельная работа.

1 уровень.

а) sinα , если cosα = - .

б) cosα ., если sinα = .

в) tgα , если cosα = .

Проверьте лежат ли на единичной окружности точки:

Угол между лучом ОМ, пересекающих единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен α. Найдите координаты точки М, если

а) ОМ = 4; α = 60 ° б) ОМ= 8; α = 150 °

1. Найти синус, косинус и тангенс угла АОМ, если О – начало координат, а точка

А ( 1; 0), М ( - ; у) лежат на единичной полуокружности.

2. Упростите выражения:

а) sin 60° · cos 135° · tg 120°

б) cos 60° - 2 sin 135° + cos 2 120°

3. Найти угол между лучом ОМ и положительной полуосью Ох, если точка М

Построить угол А, если cos А = - . Найти sin А, tg А.

Найдите значение выражения sin 2 α · tgα – cos 2 α, если известно, что sin α = .

Найдите наименьший угол между лучами ОА и ОВ, если А ( - 2; 2 ),

В ( 5; 5), О начало координат.

III . Изучение нового материала.

Вывод формулы о площади треугольника можно получить в процессе решения задачи в творческих группах с последующим обсуждением всех вариантов решения.

В треугольнике АВС ВС = а, АС = b , < С = α. Найдите площадь треугольника АВС.

К оординаты точки В равны:

х = а cos α , у = а sin α.

Высота МВС, проведенная к стороне А С, равна BH .

С другой стороны, ВН - это ордината точки В,

т. е. ВН = а sin α.

S ABC = АС· ВН = b ( а sin α) = а b sin α.

Итак, S ABC = а b sin α, где а, b - стороны треугольника, α - угол между ними.

Для более глубокого усвоения вывода формулы о площади тре­угольника желательно задать следующие вопросы контролирующего характера (опрос начинать с менее подготовленных учащихся):

- Для чего проведена высота МВС ?

- Почему координаты точки В равны (а cos α; а sin α)?

- Почему ВН = а sin α ?

- В формуле S ∆ = a b sin α где по отношению к сторонам а и b треугольника

расположен угол α ?

I V. Закрепление изученного материала.

1. Решить самостоятельно 1 варианту задачу № 38, 2 варианту - №39 из рабочей тетради с последующей взаимопроверкой между парой, сидящей за одной партой. Предварительно решение обсудить со всем классом.

Вопросы для обсуждения задачи № 38:

- Лежит ли угол В между сторонами АВ и ВС треугольника АВС ?

- Какую формулу вы использовали для вычисления площади треугольника АВС?

- Можно ли площадь треугольника АВС вычислить другим спо­собом?

- Какой из этих способов наиболее рациональный?

Вопросы для обсуждения задачи № 39:

- Какая зависимость существует между площадью треугольни­ка, двумя его сторонами и углом, заключенным между этими сторонами?

- Объясните, почему в данной задаче S∆ = BE 2 sin E ?

2. Решить самостоятельно задачи:

1 уровень - № 1020 (а), 1022, дополнительные задачи № 1, 2.

II уровень - № 1022, 1024, дополнительные задачи № 1, 2.

Задача № 1020 (а)

АВ = 6 см, А С = 4 см, = 60 0 , тогда

S ABC = АВ ·АС· sin 60° = 6 ·4 = 12 (см 2 )

Ответ: 12 см 2 .

Задача №1022

S ABC = АВ · АС sin A

S ABC =60см 2 , AC =15 c м, < A =30 0 , следовательно, A В= = 16(см).

Ответ: 16 см.

Задача №1024

а) Из ∆АВМ si n α = ВМ : АВ => AB=

Из ∆АКС s in α =КС : АС => AC=

S ABC = АВ АС sin α ;

б ) Из прямоугольного ∆ АВН sin α = => АВ =

в прямоугольном ∆СВН

sin C = sin(l80° - ( α + β )) = sin(α + β ). sinC= ВН : BC,

ВС = h : sin ( а + β ).

S ABC = BA BC sin β = · sin β =

Ответ : а ) ; б )

Дополнительные задачи:

Задача 1

Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом при ос­новании 15 0 и боковой стороной, равной 5 см.

Задача 2

В ∆АВС АВ= 4, ВС= 6, BD - биссектриса, =45 0 . Найдите: площади треугольников ABD и CBD.

Задача 3

В треугольнике МNK МК = 12, NK = 16, = а, ММ1 и NN1 - медианы, пересе­кающиеся в точке О. Найти площадь че­тырехугольника N1OM1K.

V . Подведение итогов урока.

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на уровень удовлетворенности уроком:

П онравился урок.

Не понравился урок.

Домашнее задание.

1 уровень - № 40 из рабочей тетради, № 1020 (б, в), 1021, 1023.

2 уровень - № 1021, 1023, дополнительные задачи №2,3.

Тема : Теоремы синусов и косинусов.

Тип урока: Урок сообщения новых знаний.

Рассмотреть теоремы синусов и косинусов.

Развить умения и навыки их применения при решении задач.

Закрепить теорему о площади треугольника и совершенствовать навыки решения задач на ее применение.

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний учащихся.

1.Теоретический опрос.

Подготовить у доски доказательство теоремы о площади тре­угольника, а затем заслушать ответ всем классом.

2. Проверка домашнего задания.

Индивидуально проверить домашние задачи № 40 (из рабочей тет­ради),№ 1023; дополнительные задачи № 3, № 2.

3.Работа по индивидуальным карточкам

1 уровень (карточка № 1)

1. Площадь равностороннего треугольника равна 24 . Найдите сторону этого треугольника.

2. В параллелограмме один из углов равен 45 0 , а его стороны равны 5 см и 8 см. Найдите его площадь.

3. В прямоугольнике диагональ равна 12 см, а угол между диаго­налями 30 0 . Найдите площадь прямоугольника.

2 уровень (карточка № 2)

1. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 6 см и 7см, а угол между ними равен 45 0 .

2. В треугольнике MNK = 150 0 , МN = 4 см, NK = 6см, NE ­биссектриса треугольника. Найдите площадь треугольников MNE и NKE.

3. Медианы МВС пересекаются в точке О, = 30 0 , АВ = 4 см,

ВС = 6 см. Найдите произведение площадей треугольников АОС, ВОС, ВОА.

3 уровень (карточка №3)

1. Трапеция ABCD вписана в окружность так, что основание AD - диаметр окружности. Диагональ трапеции равна 16 см, а ее площадь - 64 см 2 . Найдите углы трапеции.

2. В равнобедренной трапеции ABCD основание AD равно 8 см, диагональ BD перпендикулярна боковой стороне АВ, а угол при основании AD равен 60 0 . Найдите площадь трапеции.

3. В треугольнике МNK медианы ММ1 и КК1 пересекаются в точ­ке О, ММ1 = 4,5, КК1 = 6. Найдите угол МОК, если известно, что площадь треугольника S MNK = 9.

III . Решение задач на готовых чертежах.

Решить самостоятельно задачи на готовых чертежах с последую­щей самопроверкой и обсуждением решения тех из них, с которыми не справились большинство учащихся.

При обсуждении задач обратить внимание на следующие формулы:

Sпарал-ма = а b sin α, где а, b - стороны параллелограмма, α - угол между ними.

S прям-ка = d 2 sin α, где d - диагональ прямоугольника, α - угол между диагоналями.

S парал-ма = d 2 d 1 sin α, где d 1 и d 2 - диагонали параллелограмма, α - угол между

1. Рис. 1. Найти: S.

2. Рис. 2. ABCD-параллелограмм. ВD = 6, АС= 10.

3. Рис. 3. ABCD - параллелограмм.

4. Рис. 4. ABCD - прямоугольник. АС = 12.

рис.1 рис.2 рис.3 рис.4

IV . Изучение нового материала.

1. Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам про­тивоположных углов.

Доказательство проводится в виде беседы учителя с учащимися:

Вопрос: Какая формула выражает зависимость между сторонами треугольника и синусами его углов?

Ответ: Формула для вычисления площади треугольника:

S АВС = АВ ВС sinB (1) S АВС = AC ВС sinC (2)

S АВС = A В АС sin А (3)

Вопрос: Приравняем равенства 1 и 2. Чему равно отношение ?

Ответ: АВ ВС sinB = AC ВС sinС , АВ sinB = АС sinС,

- Как можно получить равенство =

Ответ: Приравняем равенства 2 и 3:

AC ВС sin C = A В АС sin А

ВС sin С = АВ sin А, = ( 5 )

-Верно ли равенство = = ? Почему ? ( Верно, это следует из

2. Очень часто в треугольнике известны две стороны и угол между ними и необходимо найти третью его сторону. Спра­виться с этой задачей нам позволяет теорема косинусов.

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух

других его сторон без удвоенного про изведения этих сторон на

косинус угла между ними.

Дано: ∆АВС, АВ = с, ВС = а, СА = b .

Доказать: а 2 = b 2 + с 2 – 2 bc cosA.

Д оказательство проводится в виде ответов на вопросы учеников:

Вопрос: Поместим ∆АВС в прямоугольную систему

Координат так, чтобы точка А совпадала с началом

координат, точка В лежала на положительной полуоси Ох, а точка С располага­лась в 1 координатной четверти.

Чему равны коор­динаты вершин В и С треугольника?

Ответ: Т. к. АВ = с и точка В лежит на положительной полуоси Ох, то В (с; 0).

Если из точки С опустить перпендикуляр СН , то sin α = ,

cos α = т . е . CH=AC sin α = b sin α ,

АН = AC cos α = b cos α .

Но СН - это ордината точки С, АН - абсцисса точки С, поэтому С ( b cos α; b sin α).

Вопрос: Чему равно расстояние между точками В и С, если В ( с ; 0 ),

С ( b cos α ; b sin α ) ?

Ответ : ВС 2 = ( х C – хВ ) 2 + ( уС – уВ ) 2 = (b cos α – с ) 2 + ( b sin α – 0) 2 = b 2 cos 2 α –

- 2 b с cos α + с 2 + b 2 sin 2 α = b 2 (cos 2 α + sin 2 α ) + с 2 - 2 b с cos α = b 2 + с 2 - 2 b с cos α ,

т.е а 2 = b 2 + с 2 - 2 b с cos А.

V . Закрепление изученного материала.

1. Выполнить устно задания:

- Запишите теорему синусов для треугольника MNK:

- Запишите теорему косинусов для вычисления стороны:

а) АВ в треугольнике АВС;

б) СЕ в треугольнике CDE.

Ответ: а) АВ 2 = ВС 2 + АС 2 - 2ВС АС cosC

б ) СЕ 2 = CD 2 + DE 2 - 2CD DE cosD

2. Разобрать задачи №41, 44 из рабочей тетради.

Наводящие вопросы к задаче № 41:

- Какая сторона лежит против угла А? Какой угол лежит против стороны АС?

- Используя свойства пропорций, выразите ВС и найдите его значение. (ВС = 2 см.)

Наводящие вопросы к задаче № 44:

- Как запишется теорема косинусов для вычисления стороны АВ треугольника

- Чему равен угол ВОС? Почему?

- Как вычислить косинус 120 0 ?

- Чему равен периметр параллелограмма? (Р = 6 . ( + ) см.)

3. Самостоятельно решить задачи № 1025 (а, в, г, е, и)

VI . Подведение итогов урока.

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на уровень комфортности на уроке.

Комфортно чувствовал себя на уроке.

Нормально чувствовал себя на уроке.

Плохо чувствовал себя на уроке.

Домашнее задание.

пп. 97, 98; вопросы 8, 9.

Решить задачу № 42 из рабочей тетради, № 1025 ( б, д, ж, ).

Тема : Решение треугольников.

Тип урока: Урок сообщения новых знаний.

• Сформировать умения и навыки применения теоремы

си­нусов и теоремы косинусов к решению треугольников.

• Развить логическое мышление учащихся при решении

• Воспитывать усидчивость, сосредоточенность у учащихся.

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний учащихся.

1. Теоретический опрос.

- Сформулировать теорему синусов.

- Сформулировать теорему косинусов.

2. Устное решение задач на готовых чертежах.

Рекомендация: при решении задач особое внимание уделять пра­вильному выбору теоремы (т. е. выбору той теоремы, которая позво­ляет решить задачу наиболее рационально).

а ) По данным рисунка найдите значения синуса углов А и В треугольника АВС.

б) По данным рисунка назовите формулу для

нахождения сторон АВ и ВС треугольника АВС.

3.Индивидуальная работа по карточкам.

1 уровень (карточка №1)

1. Дано: ∆АВС, <А = 45 0 , <С = 15 0 , ВС = 4 .

Найти: АВ, АС, <В.

Дано: ∆ MNK , MN = 6 см, МК = 10см, <М = 120 0 .

Найти: NK , < N , < K .

Дано: ∆ОРТ, ОР = 24, РТ = 30, ОТ = 36.

2 уровень (карточка №2)

В параллелограмме АВС D диагональ АС = 10. Найдите площадь

параллелограмма, если <ВАС = 30 0 , < D АС = 45 0 .

В равнобедренном треугольнике АВС один из углов при основании АС равен 30 0 , наименьшая медиана равна . Найдите другие медианы.

Стороны треугольника равны 5, 6, 7. найдите углы треугольника.

3 уровень (карточка №3)

В треугольнике MNK MN = 4, NK = 5, а его площадь равна 5 . Найдите расстояние от вершины N до стороны MK , если известно, что cosMNK < 0.

В треугольнике С D Е <С = 64 0 , < D = 50 0 , D Е + СЕ = 21. Найдите неизвестные элементы треугольника.

В треугольнике АВС ВС = 3,4, <АВС = 130 0 , а его площадь равна 3,6. Найдите АС.

III . Изучение нового материала

1. Прочитать самостоятельно п. 99 учебника.

2. Фронтальная работа с классом - обсуждение материала п. 99. Вопросы для обсуждения:

- Что значит «решить треугольник»?

- Перечислите три основные задачи на решение треугольников. - Составьте план решения треугольников:

а) по двум сторонам и углу между ними;

б) по стороне и прилежащим к ней углам;

в) по трем сторонам;

г) Объясните, почему задача имеет одно решение при решении треугольника:

- по двум сторонам и углу между ними;

- по стороне и прилежащим к ней углам;

- по трем сторонам.

- Дан треугольник АВС (подготовить чертеж на доске). Запи­шите формулу для вычисления:

а) ВС, если АВ = с, АС= b , = α;

б) АС, если ВС= а, = β, .

в) , если АВ = с, АС= b , ВС= а.

д) АВ, если

г) = 180 0 - (α + γ)

IV. Решение задач.

1. Разобрать решение задачи № 46 из рабочей тетради.

Задача № 46

Дать учащимся 2-3 минуты на самостоятельное решение, а затем заслушать варианты решений.

Наводящие вопросы:

- Какой угол лежит между сторонами а и b?

- Почему в пункте 2 решения cosA = ? Как получи­лось данное равенство?

- Какая теорема используется для нахождения угла В?

2. Решить самостоятельно задачи № 1026, № 1029, № 1031 (в).

З адача № 1026

По теореме синусов: =

S ABC = АВ · АС sinA = 6 12 sin 75° ≈ 87 (см 2 )

Ответ: АВ = 6 см; S ≈ 87 см 2 .

Задача №1031( в )

Пусть в треугольнике АВС АВ = 9, ВС = 5, АС = 6. Т. к. наи­большей стороной является АВ, то наибольшим углом будет угол, лежащий напротив стороны АВ,

По теореме косинусов АВ 2 = АС 2 + ВС 2 - 2АС· BC cos C.

Т. к. cos С < 0 => - тупой, МВС - тупоугольный.

Ответ: тупоугольный.

V . Подведение итогов урока.

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на усвоение материала.

1 . Хорошо усвоил материал урока.

2. Средне усвоил материал урока.

3. Не усвоил материал урока.

Домашнее задание.

П. 99; вопросы 10, 11. Решить задачи:

I уровень: № 45 из рабочей тетради; № 1027, 1028, 1031 (а, б).

II уровень: № 1027, 1028, 1031 (а, б), 1032.

Тема : Решение треугольников.

Тип урока : Урок закрепления новых знаний.

Цели урока :

Отрабатывать умение применять теоремы синусов и косинусов в решении задач на нахождение неизвестных элементов у треугольника.

Показать практическую направленность таких задач.

Развивать внимание, активность, самостоятельность.

Воспитывать ответственность, умение работать парами, дружеские отношения между ребятами.

I ) Организационный момент.

II ) Актуализация знаний учащихся.

а) Проверка письменного домашнего задания .

б) Теоретический опрос:

- Что значит «решить треугольник» ?

- Сформулируйте основные задачи на решение треугольников.

- Какие теоремы применяются для решения треугольников ?

- Сформулируйте теоремы синусов и косинусов.

в) Устное решение задач на готовых чертежах .

Используя рисунки, составить план решения задач.

( при решении задач особое внимание уделять правильному выбору теоремы, т.е. той теоремы , которая позволяет более рационально решить задачу)

1 . Найти: а, < В, < С. 2. Найти: < В, а, с. 3. Найти: < А, < В, < С.

Пока класс решает устно задачи двое учащихся на обратной стороне доски решают практические задачи, по окончанию устной работы учащиеся объясняют решения своих задач.

Найти ширину озера, если ( рис.1) АС = 120м, < А = 60° , < С = 45°.

<В = 180° - ( 60° + 45°) = 75°

С помощью теоремы синусов = ; АВ = ; АВ = ≈88м

И змерим дальнометром расстояние СВ=62м, СА=80м. Угол между ними 60°.

Найти расстояние между двумя деревьями А и В (рис 2)

АВ = СВ 2 + СА 2 – 2 · СВ · СА · cosC

АВ = 62 2 + 80 2 – 2 · · 62 · 80, АВ ≈ 73

III ) лабораторная работа .

Учащиеся делятся на три группы: 1 группа –учащихся с повышенным уровнем; 2 группа – учащиеся с базовым уровнем и учащиеся с низким уровнем; 3 группа –учащиеся с базовым уровнем и учащиеся с низким уровнем.

Тема : Определение вида треугольника.

Цель : Определить вид треугольника, применяя теоремы синусов или косинусов.

Задание 2 группы :

Определите вид треугольника, если две его стороны равны а = 10 см и в =15 см, а угол между ними равен ‹ γ =70 0 .

Задание 3 группы:

Определите вид треугольника, если две его стороны равны а = 12 см и в =14 см, а угол между ними равен ‹ γ =80 0 .

Выполнение работы:

Найдите длину стороны с, пользуясь теоремой косинусов.

Вычислите величину угла β, пользуясь теоремой синусов.

Вычислите величину угла α, используя свойство треугольника о сумме его углов.

Зная все углы треугольника, определите его вид.

Задание 1 группы :

Два парохода начинают движение одновременно из одного и того же пункта и двигаются равномерно по прямым, пересекающимся под углом 60 0 . Скорость первого парохода равна 70 км/ч, а второго – 60 км/ч. Исследуйте на каком расстоянии друг от друга будут находиться пароходы через 3 часа.

IV ) Тест с последующей взаимопроверкой.

1 вариант ( 1 уровень )

№ 1. Соединить линией части утверждения, соответствующие друг другу.

Стороны обратно пропорциональны

треугольника синусам противолежащих углов

№ 2. Заполните пропуски в равенствах.

Дан треугольник D ЕК.

в) D К · sin К = . . . · sin Е

№ 3. Закончить фразу. В треугольнике против большего угла лежит_______________ ________________________________.

№ 4. В треугольнике АВС АВ – наименьшая сторона. Определить наименьший угол этого треугольника. ( Выбрать и подчеркнуть верный ответ)

а) < А ; б) < В ; в) < С ;

№ 5. Заполните пропуски.

Для того чтобы решить треугольник по стороне а и двум углам α и β, нужно:

. . . найти угол γ с помощью равенства ______________________________.

. . . найти сторону b с помощью равенства ___________________________.

. . . найти сторону с с помощью равенства ___________________________.

2 вариант ( уровень 2 ).

№ 1. Пусть а, b , c – длины сторон треугольника АВС. Найдите длину наибольшей стороны этого треугольника, если < А = 63 0 , < С = 57 0 .

а) а ; б) b ; в) с ; г) по заданным условиям не определяется

№ 2. В треугольнике АВС угол В равен 105 0 , а угол А равен 45 0 , ВС = 8 см. Найти АВ.

а ) 4 √ 3 ; б) 4 √ 2 ; в) 8 √ 2 ; г) 4 √ 6

№ 3. В треугольнике МРК даны стороны МР и РК и угол К. Может ли угол М быть тупым , если МР = 12, РК = 15, < К = 40 0 ?

а) да ; б) нет ; в) по заданным условиям не определяется.

V ) Работа по учебнику .

Решить задачу № 1030.

VI ) Подведение итогов урока .

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на готовность к зачету.

1. Готов к зачету.

2. Почти готов к зачету

3. Не готов к зачету.

Домашнее задание: Подготовить доказательство задачи № 1033; решить задачи:

1 уровень - № 1034, № 47, № 48 ( из рабочей тетради);

2 уровень - № 1033, № 1035, задачу № 7.

Организация обучения на уроках геометрии.

Представленная система уроков является частью разработан­ной технологии внутриклассной уровневой дифференци­ации учебной деятельности школьников в преподавании курса геометрии 9-х классов основной школы. В основу этой технологии положен играющий ведущую роль в современной педагогической психологии личностно- деятельност­ный подход к обучению.

Согласно деятельностному аспекту данного подхода, обучение ­- это двустороннее единство деятельности обучаемого и обучаю­щего по созданию условий для формирования у учащегося струк­туры обобщенных умственных действий, направленных на при­обретение им заданной системы знаний, умений и навыков. Со стороны учащегося процесс обучения выступает в форме учеб­ной деятельности, которая определяется психологами как спе­цифическая деятельность субъекта по его саморазвитию на ос­нове решения специально поставленных учителем учебных за­дач. Со стороны учителя - это организация учебной деятельно­сти учащегося, состоящая из двух взаимосвязанных компонен­тов: формирования ориентировочной основы действий, состав­ляющих содержание учебной деятельности, и целенаправленно­го управления этой деятельностью в процессе самостоятельной работы учащегося. .

Личностно - деятельностный подход к обучению предполагает, что все воздействия на учащегося как на субъект обучения с целью управления его учебной деятельностью преломляются через призму личности обучаемого, его индивидуально-психологические и психо­физиологические особенности. Из этого следует, что достигнуть оп­тимальных результатов обучения каждого учащегося можно лишь в том случае, если преподавание предмета вести на нескольких уров­нях сложности, обеспечивающих постепенный переход от уровня актуального развития к зоне ближайшего развития.

Структурной единицей учебного процесса в рассматриваемой технологии служит блок уроков, связанных одной темой. На первом уроке блока учащимся сообщается тема и ставятся цели ее изучения. Далее учитель переходит к этапу предварительно­го ознакомления учащихся с формируемой деятельностью. На этом этапе вводятся основные понятия изучаемой темы, решаются специально составленные учебные задачи. Содержание этих задач дик­туется, с одной стороны, требованием доступности для всех уча­щихся, а с другой - требованием отразить в них наиболее су­щественные связи и отношения между элементами изучаемых геометрических объектов. Доступность задач обеспечивается небольшим числом умозаключений, требующихся для их реше­ния, детальным рассмотрением моделей фигур и правил постро­ения чертежей, а также опорой на хорошо известные учащимся ранее изученных теорем, определений и свойств треугольника. Все это позволяет вести на данном этапе фронтальную работу с классом, вовлекая в обсуждение решения задач как сильных, так и слабых учащихся. После того, как решение задачи осмыслено и понято всеми учащимися, оно под руководством учителя с подробными объяснениями записывает­ся учащимися в их классные тетради. В целом этап предвари­тельного ознакомления обеспечивает понимание учащимися ос­новных понятий темы и содержания той деятельности, в кото­рую они включены и которая приводит к решению рассматрива­емого класса задач.

Следующий этап в изучении темы - самостоятельная работа учащихся, которая проводится дифференцированно на двух или трех уровнях сложности - в зависимости от объема темы. В со­ответствии с числом уровней на нее отводится в блоке два или три урока. Самостоятельная работа каждого учащегося начина­ется с решения по индивидуальному варианту задач первого уровня сложности, однотипных с теми, которые рассматривались на пре­дыдущем этапе. Однако функция этих задач в процессе обучения изменяется: если на предыдущем этапе они служили для раскры­тия деятельности, формирования ориентировочной основы состав­ляющих ее умственных действий, то теперь выступают как сред­ство усвоения этой деятельности. На первом уроке самостоятель­ной работы проводится также первый этап теоретического заче­та, состоящий в индивидуальном опросе определений и формули­ровок теорем.

Сильные учащиеся, справившиеся с набором задач первого уровня сложности за один урок, переходят к самостоятельной работе второго, более высокого уровня сложности. Они полу­чают специальные методические пособия, в которых рассмат­риваются дополнительные вопросы теории и методы решения задач, требующие более глубокого, чем на первом уровне, ана­лиза и обобщения свойств изучаемых фигур. На уроке учащи­еся самостоятельно разбираются в приведенных в пособии ре­шениях задач. Работа учащихся по методическим пособиям со­провождается выполнением обязательного домашнего задания по решению двух или трех задач соответствующего уровня слож­ности. Слабым учащимся время, отведенное на самостоятель­ную работу, полностью предоставляется для решения задач первого уровня.

По окончании самостоятельной работы в специально отведен­ное время проводится второй этап теоретического зачета, к кото­рому учащиеся должны подготовить доказательства тех теорем, которыми они пользовались при решении задач и формулировки которых они отвечали на первом этапе. Второй этап зачета не является обязательным и сдается по желанию теми учащимися, которые интересуются предметом и стремятся к более глубокому изучению материала.

Следует также обратить внимание на изменение функции от­метки, происходящее при работе по рассматриваемой техноло­гии. Отметка «3» за работу по теме выставляется тем учащимся, которые справились только с задачами первого уровня, отметки « 4 » и «5» - тем, кто успешно закончил работу на втором уров­не. В результате оценка отражает не количество ошибок учаще­гося, как это происходит при работе по традиционной техноло­гии, а освоенный им уровень сложности. Это вносит элемент со­стязательности в работу учащихся и служит дополнительным фак­тором повышения успеваемости.

На изучение темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника» от­водится 5 уроков. Этот блок обеспечивает усвоение учащимися теорем синусов и косинусов и способов деятель­ности, необходимых для решения задач, связанных с решением треугольников.