График квадратичной функции с модулем

График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины. Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью. Л. Н. Толстой. Выполнила: Асламурзаева Белла, ученица 9 «А» класса, СОШ №46 им. И .Дзусова Руководитель: Дряева М.Г. Преподаватель математики СОШ №46 им. И .Дзусова

Содержание: 1.Введение 2.Основные определения и свойства. 3.Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля. 4.Выводы. 5. Используемая литература.

Цель работы – рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля. Объект исследования: график квадратичной функции. Предмет исследования: изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Задачи: 1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции. 2) Исследовать изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Практическая значимость моей работы заключается: 1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям; 2) в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.

Основные определения и свойства Функция, определяемая формулой у=ах²+вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с – любые действительные числа, причём а≠0, называется квадратичной. Абсолютной величиной неотрицательного числа называется само это число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Свойства: 1.|a| ≥0, 2. |a|²= a², 3.|a∙b|=|a|∙|b|, 4. |a/b|=|a|/|b|, b≠0

Построение графика линейной функции, содержащей переменную под знаком модуля. 1)f(x)= |x-1|. x = 1- корень подмодульного выражения. Возьмем x=0, (0<1) и х=2, (2>1). Вычисляя функции в точках 1,0 и 2,получаем график, состоящий из двух отрезков.

2) f(x)= |x-1|+|x-2|. Вычисляя значение функции в точках 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из трех отрезков прямых.

Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля На примере функции у = x ²-6х +5 рассмотрим всевозможные случаи расположения модуля. у = |x 2 – 6х +5| у = | х | 2 – 6х +5 у = х² – 6|х| +5 у = |х|² - 6|х|+5 у = |х² – 6х| +5 у = |х² – 6|х| +5| у = x 2 -|6х + 5| |y|= x 2 – 6х +5

Построим график функции у = |x 2 – 6х +5| Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая: Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая: Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая: Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая: . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. x ²– 6х +5≥ 0, тогда у= x² – 6х +5.Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. 2) x² – 6х +5<0, тогда у= -(x ²– 6х +5) или -x² + 6х -5>0, y= -x² + 6х -5.

Рассмотрим график функции у = |х|²– 6х +5 Т.к. |x|²= x² , то функция у = |х|² – 6х +5 совпадает с функцией у = x ²-6х +5 ,а , значит, имеют один и тот же график.

Рассмотрим график функции у = х² – 6|х| +5 Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая: 1)Пусть x≥0, тогда y= х² - 6х +5. Построим параболу у = х² - 6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует неотрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную правее оси Оу. 2)Пусть x<0, тогда y= x² + 6х +5. В той же координатной плоскости построим параболу у = х² +6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную левее оси Оу. Обведённые части парабол вместе образуют График функции у = х² - 6|х| +5

Рассмотрим график функции у = |х|² - 6|х|+5. Т.к. |x|²= x² , то функция у = |х|² – 6|х| +5 совпадает с функцией у = x ²-6|х| +5 (см пред. пример)

Построим график функции у = |х2 – 6х| +5 1)у = х² - 6х 2)у = |х² - 6х| 3)у = |х² - 6х| +5

Построим график функции у = |х2 – 6|х| +5|. 1) у =х²- 6|х| +5 (рассмотрено в 10 слайде) 2)у = |х² – 6|х| +5|

Построим график функции у = x 2 -|6х + 5|. 1)Найдем нули функции: у =6х + 5 , 6х + 5=0, x= - ⅚. 2) Рассмотрим два случая: 1)6х+5≥0, т.е. х ≥ -⅚, , тогда функция примет вид у =x² - 6х -5. 2) 6х+5<0, т.е. х < -⅚, тогда функция принимает вид у =x² + 6х +5. 3)Построили график функции у = x 2 -|6х + 5|.

Равенство |y|= x 2 – 6х +5 не задает функции т. к. при x 2 – 6х +5 >0 имеем 2 значения y, соответствующих данному значению x, а при x 2 – 6х +5 <0, ни одного такого значения. График данного уравнения строится так: Отбрасываем ту часть графика , которая лежит ниже оси Ох, а оставшуюся часть симметрично отображаем относительно оси Ох. 1)При x²– 6х +5 >0, y= x² – 6х +5 2)при x² – 6х +5 <0, y= -(x² – 6х +5) 3) Построили график функции |y|= x² – 6х +5

Выводы: 1)Для построения графика функции y = |f(x)| , надо сохранить ту часть графика функции y = f(x), точки которой находятся на оси Ох или выше оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох ту часть графика функции y = f(x), которая расположена ниже оси Ох. 2) Для построения графика y = f(|x|) надо сохранить ту часть графика функции y = f(|x|), точки которой на оси Оу или справа от неё и симметрично отразить эту часть графика относительно оси Оу. 3) Чтобы построить график уравнения |y|= f(x) нужно: Отбросить ту часть графика , которая лежит ниже оси Ох, а оставшуюся часть симметрично отобразить относительно оси Ох