Ограниченные полугруппы операторов и вопросы сходимости метода Бубнова-Галёркина для одного класса нелинейных уравнений пологих оболочек Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кузнецов Валентин Николаевич, Кузнецова Татьяна Александровна, Бессонов Леонид Валентинович

В работе рассматриваются вопросы, связанные со скоростью сходимости метода Бубнова-Галёркина при численном расчёте напряжённо-деформированного состояния геометрически нелинейных оболочек в динамическом случае. Для решения этих вопросов привлекается аппарат сильно непрерывных ограниченных полугрупп операторов . В теории краевых задач методы функциональных полугрупп операторов эффективно применяются с 60-х годов XX-века. Это работы Э. Хилля, Р. Филлипса, С. Г. Крейна, С. Мизохата и других авторов. Так, применяя аппарат сильно непрерывных полугрупп операторов, С. Г. Крейн в конце 60-х годов по-новому доказал теоремы существования и единственности решений линейных уравнений механики. В 2000 году В. Н. Кузнецов и Т. А. Кузнецова впервые применили аппарат ограниченных полугрупп операторов для исследования решений линейных уравнений пологих оболочек, что позволило решить задачу о гладкости решений систем линейных уравнений оболочек. В это же время В. Н. Кузнецов и Т. А. Кузнецова предложили так называемый метод линейной аппроксимации по отдельным параметрам , который позволил решить задачу о гладкости решения уже нелинейных уравнений пластин и оболочек. Это дало возможность определиться со скоростью сходимости метода Бубнова Галёркина при численном решении нелинейных краевых задач для геометрически нелинейных оболочек в области устойчивости по параметрам. В данной работе приводится результат о скорости сходимости метода Бубнова-Галёркина в случае кусочно-гладкой границы нелинейной оболочки.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кузнецов Валентин Николаевич, Кузнецова Татьяна Александровна, Бессонов Леонид Валентинович

LIMITED OPERATOR SEMIGROUPS AND ISSUES OF THE CONVERGENCE OF THE BUBNOV-GALERKIN METHOD FOR ONE CLASS OF SHALLOW SHELLS NONLINEAR EQUATIONS

This paper discusses issues related to the rate of convergence of the Bubnov-Galerkin method in numerical calculation of stress-strain state of geometrically nonlinear shells in the dynamic case. To address these issues involved the unit strongly continuous semigroups of limited operators. Methods of functional semigroups of operators was applied effectively in the theory of boundary value problems since the 60s XX-th century. It should be noted author E. Hill, R. Phillips, S. G. Krein, S. Mizohata and others. So, using the methods of strongly continuous semigroups of operators S. G. Krein proved a new theorem on the existence and uniqueness of solutions of linear equations of mechanics in late 60s. In 2000, V. N. Kuznetsov and T. A. Kuznetsova first used the methods limited semigroups of operators to solution of linear equations of shallow shells, which solved the problem of smoothness of solutions of linear systems of equations of shells. At the same time V. N. Kuznetsov and T. A. Kuznetsova have developed a method called a linear approximation in separated parameters, which allow to solve the problem of smoothness of solutions of nonlinear equations of the theory of plates and shells. This made it possible to determine the speed of convergence of the Bubnov-Galerkin method the numerical solution of nonlinear boundary value problems for the geometrically nonlinear shells in the area of sustainability in the parameters. In this paper, we complete the proof of the result of the rate of convergence of the BubnovGalerkin method in the case of an arbitrary configuration shell borders.

Текст научной работы на тему «Ограниченные полугруппы операторов и вопросы сходимости метода Бубнова-Галёркина для одного класса нелинейных уравнений пологих оболочек»

Том 17 Выпуск 4

УДК 539.3+514.4 1)01 10.22405/2226-8383-2016-17-4-110-123

ОГРАНИЧЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

И ВОПРОСЫ СХОДИМОСТИ МЕТОДА БУБНОВА^ГАЛЁРКИНА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

В. Н. Кузнецов, Т. А. Кузнецова, Л. В. Бессонов (г. Саратов)

В работе рассматриваются вопросы, связанные со скоростью сходимости метода Бубнова-Галёркина при численном расчёте напряжённо-деформированного состояния геометрически нелинейных оболочек в динамическом случае. Для решения этих вопросов привлекается аппарат сильно непрерывных ограниченных полугрупп операторов. В теории краевых задач методы функциональных полугрупп операторов эффективно применяются с 60-х годов ХХ-века. Это работы Э. Хилля, Р. Филлипса, С. Г. Крейна, С. Мизохата и других авторов. Так, применяя аппарат сильно непрерывных полугрупп операторов, С. Г. Крейн в конце 60-х годов по-новому доказал теоремы существования и единственности решений линейных уравнений механики. В 2000 году В. Н. Кузнецов и Т. А. Кузнецова впервые применили аппарат ограниченных полугрупп операторов для исследования решений линейных уравнений пологих оболочек, что позволило решить задачу о гладкости решений систем линейных уравнений оболочек. В это же время В. Н. Кузнецов и Т. А. Кузнецова предложили так называемый метод линейной аппроксимации по отдельным параметрам, который позволил решить задачу о гладкости решения уже нелинейных уравнений пластин и оболочек. Это дало возможность определиться со скоростью сходимости метода Бубнова — Галёркина при численном решении нелинейных краевых задач для геометрически нелинейных оболочек в области устойчивости по параметрам. В данной работе приводится результат о скорости сходимости метода Бубнова-Галёркина в случае кусочно-гладкой границы нелинейной оболочки.

Ключевые слова: ограниченные полугруппы операторов, геометрически нелиненые оболочки, метод линейной аппроксимации по отдельным параметрам, порядок скорости сходимости метода Бубнова — Галёркина.

Библиография: 19 названий.

LIMITED OPERATOR SEMIGROUPS AND ISSUES

OF THE CONVERGENCE OF THE BUBNOV^GALERKIN METHOD FOR ONE CLASS OF SHALLOW SHELLS NONLINEAR EQUATIONS

V. N. Kuznetsov, T. A. Kuznetsova, L. V. Bessonov (Saratov)

This paper discusses issues related to the rate of convergence of the Bubnov-Galerkin method in numerical calculation of stress-strain state of geometrically nonlinear shells in the dynamic case. To address these issues involved the unit strongly continuous semigroups of limited operators. Methods of functional semigroups of operators was applied effectively in the

theory of boundary value problems since the 60s XX-th century. It should be noted author E. Hill, R. Phillips, S. G. Krein, S. Mizohata and others. So, using the methods of strongly-continuous semigroups of operators S. G. Krein proved a new theorem on the existence and uniqueness of solutions of linear equations of mechanics in late 60s. In 2000, V. N. Kuznetsov and T. A. Kuznetsova first used the methods limited semigroups of operators to solution of linear equations of shallow shells, which solved the problem of smoothness of solutions of linear systems of equations of shells. At the same time V. N. Kuznetsov and T. A. Kuznetsova have developed a method called a linear approximation in separated parameters, which allow to solve the problem of smoothness of solutions of nonlinear equations of the theory of plates and shells. This made it possible to determine the speed of convergence of the Bubnov-Galerkin method the numerical solution of nonlinear boundary value problems for the geometrically nonlinear shells in the area of sustainability in the parameters.

In this paper, we complete the proof of the result of the rate of convergence of the Bubnov-Galerkin method in the case of an arbitrary configuration shell borders.

Keywords: limited semigroup, geometrically nonlinear shell, the method of linear approximation on separated parameters, the order of convergence of the Bubnov — Galerkin method rate.

Bibliography: 19 titles.

Пусть — сильно непрерывная ограниченная полугруппа операторов (С.Н.О.П.О.), действующая в банаховом пространстве, порождающий оператор которой А имеет полную систему собственных функций с собственными значениями \п. Известно [1-2], что в это случае имеют место прямые и обратные теоремы приближения по собственным подпространствам, аналогичные классическим теоремам, но выраженные в терминах порождающего оператора. Рассмотрим ещё одно приложение ограниченных полугрупп операторов, теперь в теории краевых задач.

Рассмотрим задачу Коши вида

д2т _ д2„„ I 1 („ „. ,\д2т , ± „. ,\д2т

+2фз(х,у, t) fg| + Ф4(х,у, t)+ q,t е [0; Т],

w(x, у, 0) = Wo, (х, у, 0) = Wi,

где А — оператор Лапласа, фг(х, у, ¿) — некоторые непрерывные в области О х [0; Т] функции, а О — ограниченная область с границей Г, представляющей собою кусочно-гладкую кривую.

Под решением этой задачи понимается любая функция ,ш(х,у, ¿), удовлетворяющая уравнению, начальным и граничным условиям (1) из пространства Т), Н2(О)), где Н2(О) — пространство Соболева.

Рассмотрим операторы вида

, / ч л 2 , д21л , д, д2тл

тг» = оЛ - ф ^+ф2 + 2фз дХХдГу (2) Г А2

пых условий является положительно определённым самосопряжённым оператором. Известно

ми операторами при выполнении условий

9фг + Эф2 = о дх + ду ,

где С — некоторая положительная константа. Как показано в [2] операторы гД и А1/2(Ь) являются подобными, порождают эквивалентные ограниченные полугруппы операторов и константа эквивалентности не зависит от Этот факт позволяет доказать (см. [5]), что задача Коши (1) при сделанных выше предположениях имеет единственное решение ад(х,у,Ь), принадлежащее пространству Ь^((0; Т),Н2(О)), где Н2(О) — пространство Соболева. Более того, если начальные функции адо £ И(Д2к) и ь)1 € ^(Д2к-1), а функции фг(х,у,1) € И(Д2к-1) при любом £ € [0;Т], то решение задачи Коши принадлежит области определения оператора Д2к при любом £ € [0; Т].

Отметим, что при доказательстве последнего утверждения, т.е. гладкости решения задачи Коши (1) существенную роль играет тот факт, что оператор А(Ь) вида (2) порождает ограниченную полугруппу операторов.

Остановимся более подробно на результатах работы [5]. В [5] рассмастривается класс нелинейных моделей оболочек, отражающих геометрическую нелинейность оболочек и удовлетворяющих следующим ограничениям:

• любая неизвестная фукнция, входящая в ураснения системы, однозначно выражается через функцию прогиба и>]

• область О, определяющая серединную поверхность оболочки, является ограниченной областью с кусочно гладкой границей;

• граничные условия рассматриваются в форме Неймана.

К этому классу относятся известные модели Кирхгофа и Тимошенко (как в смешанной форме, так и заданные в перемещениях) и некоторые другие модели. Для исследования решений моделей этого класса в работе [5] разработан так называемый метод линейной аппроксимации по отдельным параметрам, который позволяет строить последовательность функций , являющихся решением линейных операторных уравнений вида:

( аоШ = —сцАад + -Ькад + ¡п,1 € [0; Т],

ад(х,у, 0) = адо, ^(х,у, 0) = гиь (4)

где А = Д2 либо А = —Д, и где

Н ад = Ф\,к (х,у,г)--2 + ф2, к (х,у,г)—2 + 2ф3,к (х,у,г)-

где последовательность непрерывных в области О х [0; Т] функций фг,п(х,у,Ь),г = 1, 2, 3 /п получена в результате применения метода В. В. Петрова [6] — метода последовательного возмущения параметров — к соответствующей нелинейной модели.

Как показано в [5], последовательность функций сходится в пространстве

где Н2(О) — пространство Соболева, к функции прогиба ад исходной модели оболочки.

Более того, свойства единственности и гладкости решений операторных уравнений (4) переносится на решение соответствующей исходной задачи.

Таким образом, в случае, когда операторы вида

являются положительно определенными при любом £ £ [0;Т], соответствующая нелинейная модель имеет решение того же порядка гладкости, что и начальные функции нагрузка

Гладкость решений модельной задачи гарантирует определённый порядок скорости сходимости метода Бубнова-Галёркина. Доказательства этого факта приведено в [5] на примере нелинейной модели Кармана для прямоугольной в плане оболочечной конструкции. В более поздних работах [6-10] также обсуждались вопросы гладкости решений нелинейных задач и впопросы сходимости метода Бубнова-Галёркина.

В данной работе на примере модели Кармана докажем результат о порядке скорости сходимости метода Бубнова-Галёркина в случае кусочно гладкой границы оболочки О.

2. Вопросы сходимости метода Бубнова^Галёркина при решении линейных операторных уравнений

Запишем последовательность операторных уравнений (4) в случае нелинейной модели Кармана.

г . , д2¥п д2™ д2¥п д2™ д2Рп д2ш Ьп(™) = • т^т + • - 2-

дх2 ду2 ду2 дх2 дхду дхду'

/п = ДкРп + ц, и — последовательность функций, полученная каким-либо методом, сходящаяся в пространстве Ь^((0;Т),Н2(О)) к функции усилий Р.

Решение методом Бубнова-Галёркина уравнения (4) заключается в определении последовательности функций

сходящейся к решению где — система собственных функций оператора Д2, а коэффициенты Рк,п&) находятся из условий:

1- д)£М ,Фг) + (DДWn,N + Lп(Wп,N), Фг) = (!п, Фг), Г =.

N ^ ™0, N ^ при N ^ Ж.

Относительно гладкости функций wn, полученных в результате решения линейных операторных уравнений (6) методом Бубнова—Галёркина, имеет место следующее утверждение, доказанное в [5].

Теорема 1.Предположим, что

1. Функции qx . непрерывны во времени.

2. Оператор An = DA2 — Ln является положительно определённым.

3. При любом t € [0;Т] функции wo, wi; q принадлежат, области определения оператора A2

где действие оператора Лапласа рассматривается в подпространстве Hq(Q).

Тогда, для, любого t € [0; Т] решение wn задачи (6) принадлежит области определения оператора

что при любом п для операторного уравнения (6) выполняются условия теоремы 1, решение (w,F) задачи (1) является гладким, т.е.

Докажем следующее утверждением.

ную систему собственных функций с собственными значениям,и |An>;

Доказательство. Известно [11], что положительно опредённый симметрический оператор с дискретным спектром имеет в качестве системы собственных векторов ортонорми-рованную систему функций с положительными собственными значениями. Ai > 0

Au = ^(Au, Uk)uk = ^2(u, Au,k)uk = ^ Ak(u, Uk)uk. k=i k=i k=i

( Au, u) = ^Ak (u,uk )2 > Ai ^ (u,uk )2 = Ai ||u||2. k=i k=i

Докажем теперь теорему относительно порядка скорости сходимости метода Бубнова-Галёркина при тех же предположениях, что и в теореме 1. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2.Скорость сходим,ост,и последовательности функций вида (7) к решению wn операторного уравнения (6)в пространстве L^(0; Т), H2(Q)) имеет порядок

Доказательство. Обозначим через Ап линейный оператор вида

Запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения коэффициентов в разложении (7)

где ak,s = (Апфк,фз), An — оператор вида (8), bn,s = (f-и,Фз)• При этом

Т.к=1 Рк,п(0)фк ^ыо, N ^ ж, Ек=гР'кпп(0)Фк N ^ж,

Для решения уравнения (6) рассмотрим ряд Фурье

и систему N уравнений

, Фу + (АпЫп, фз) = (¡п, Фз), 5 = 1,

для нахождения коэффициентов ак,п(Ь) разложения (11). Запишем систему уравнений (12) в виде