1. Решение нелинейного уравнения методом Ньютона-Рафсона

1. Решение нелинейного уравнения методом Ньютона-Рафсона.

1.1 Математическая модель решения уравнения.

Пусть выполняются следующие условия сходимости:

x 0 выбрано достаточно близко к решению x = f ( x )

Производная f ”( x ) не становиться слишком большой.

Производная f ’( x ) не слишком близка к 1.

Предположим, каким-либо методом определено начальное приближение к корню в точке x 0 . Вычислим производную в точке x 0 по формуле:

где ∆ x некоторое малое приращение, примем его равным 0,01. Следующее приближение к корню найдем в точке x 1 , где касательная к функции f (x) , проведенная из точки ( x 0 , f 0 ) пересекает ось абсцисс. Найдём x 1 по формуле:

З атем считаем точку х 1 в качестве начальной и продолжаем итерационный процесс.

Рисунок 1. Геометрическое представление метода.

Из рисунка видно, что таким способом можно приближаться к корню a . При этом расстояние между очередным x n +1 и предыдущим x n приближениями к корню будет уменьшаться.

Процесс уточнения корня закончим, когда выполнится условие

|x n +1 – x n | <  (1.3)

где  - допустимая погрешность вычисления корня.

1.2 Решение уравнения.

Данный метод был использован для нахождения корня в уравнении

График функции (1.5)

Рисунок 2. График функции.

Рисунок 3. График производной функции.

Для нахождения корня уравнения (1.4) за значение начального приближения было взято значение x = -5. Корень был найден за 3 итерации c точностью 0.1.

В программе Solver Microsoft Excel было найдено решение уравнения (1.4) за 3 итерации.

Г рафик нахождения корня по итерациям: Таблица изменения x, f(x), f”(x) по

итерациям

1.3 Оценка погрешности при нахождении корня уравнения (4):

Так, как ошибка не накапливается при использовании итерационных методов решения уравнений, то будем считать ошибку на последнем шаге итерационного процесса. Значит, ошибка будет содержаться при нахождении очередного приближения к корню по формуле (2).

Вычислим погрешность функции при x = 0:

e = (1/(1-2))*0 - (2 0 /(1-2) 2 )*(0.1+0.1) + 0 = 0.2

Вычислим погрешность производной функции при x = 0 и ∆x = 0.1:

e = (1/(0.2))*(0.2+0.2) – (0/(0.2) 2 )*0 = 2

Вычислим итоговую погрешность при x = 0:

e = 1*(0.2 + 0*2 - 0*0) – ((0 - 0*0)/1 2 )*2 = 0.2

2. Решение системы нелинейных уравнений методом простой итерации.

2.1 Математическая модель решения уравнения.

Пусть требуется решить систему уравнений

где f 1 , f 2 ,…, f n – заданные нелинейные вещественнозначные функции n вещественных переменных x 1 , x 2 …, x n .

Тогда систему (2.1) можно заменить одним уравнением

Для реализации метода простой итерации систему уравнений (2.1) преобразуем к следующему виду:

или в компактной записи: . (2.4)

На основании (2.4) запишем рекуррентное равенство:

Где k определяет метод простых итераций.

Запишем метод последовательных приближений (2.5) в развёрнутом виде:

Запишем «зейделеву» модификацию метода простых итераций:

Согласно формуле (2.7) реализуем итерационный процесс.

Для установления момента прекращения итераций при достижении заданной точности может быть использована метрика:

2.2 Решение системы уравнений.

Решим данным методом систему уравнений:

Преобразуем систему (2.10) к виду (2.3):

Реализуем итерационный процесс, возьмём за начальное приближение x 1 = 1.

В результате получим следующее значение x 1 и x 2 по итерациям:

Г рафик изменения x 1 и x 2 по итерациям: Таблица изменения x 1 , x 2 , по

3. Интегрирование функций.

Пусть задан определённый интеграл:

Подынтегральная функция f (x) непрерывно дифференцируема на отрезке [ a , b ].

Тогда возможно вычисление определённого интеграла следующими методами:

3.1 Интегрирование функций методом правых и левых прямоугольников.

Разделим отрезок [ a , b ] на N равных отрезков длиной ∆ х , где

Тогда координата правого конца i -го отрезка определяется по формуле

x i = x 0 + i ∆ х , (3.3)

где x 0 = a , i =0,1,…, N .

Рисунок 3.1 Геометрическая интерпретация метода левых прямоугольников

Рисунок 3.2 Геометрическая интерпретация метода правых прямоугольников

Простейшая оценка площади под кривой f ( x ) может быть получена как сумма площадей прямоугольников, одна из сторон которого совпадает с отрезком [ x i , x i +1 ], а высота равна значению функции в точке х , (метод левых прямоугольников, рисунок 3.1) или в точке x i +1 (метод правых прямоугольни­ков, рисунок 3.2). Погрешность вычисления значения интеграла на каждом ша­ге показана на рисунках заштрихованными фигурами.

Значение определенного интеграла вычисляется по формулам

для методов левых и правых прямоугольников, соответственно.

3.2 Интегрирование функций методом трапеций.

Для вычисления значения интеграла разбиваем отрезок интегрирования [a,b]. на N равных частей и определим значения f (xi) (i = 0, 1, …, N), где xi = x0 + i∆х, x0 = a, i =0,1,…,N;

Рисунок 3.3 Геометрическая интерпретация метода трапеций

Используем линейную интерполяцию. В этом случае фигура, ограниченная графиком функции и прямыми х = х i , х = x i +1 , является трапецией (Рисунок 3.3). Вычислим площадь F i каждой из полученных трапеций:

Искомый определенный интеграл определяется как сумма площадей всех трапеций:

3.3 Интегрирование функций методом Симпсона.

Для вычисления значения интеграла разбиваем отрезок интегрирования [ a , b ] на N равных частей и определим значения f ( x i ) ( i = 0, 1, …, N ), где

x i = x 0 + i ∆ х , x 0 = a , i = 0,1,…, N ;

Используем параболическую интерполяцию (полиномом второй степени) по трем соседним точкам:

y = ax 2 + bx + c . (3.8)

Д ля нахождения коэффициентов а, b , с полинома, проходящего через точки ( x 0 , y 0 ), ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), нужно найти решение следующей системы линей­ных уравнений:

относительно неизвестных а, b , c .

Решив систему (3.9) относительно неизвестных а, b , с любым известным методом (например, Крамера), подставив найденные выражения в (3.8) и выполнив элементарные преобразования, получаем:

Площадь под параболой y = y ( x ) на интервале [ х о , х 2 ] находится посредст­вом элементарного интегрирования ( 3.10 ):

где ∆ х = x 1 – x 0 = x 2 – x 1 .

Искомый определенный интеграл находится как площадь всех параболиче­ских сегментов (формула Симпсона):

3.4 Интегрирование функций методом Монте-Карло.

Для вычисления значения интеграла представим, что подынтегральная функция лежит внутри прямоугольника высотой (d – c) и диной (b – a). Сгенерируем ЛГ пар случайных чисел, равномерно распределенных в дан­ном прямоугольнике (рисунок 3.4):

рисунок 3.4 Пояснение метода Монте-Карло

Тогда доля точек ( x i , y i ), удовлетворяющих условию y ≤ f ( x i ) , является оценкой отношения интеграла от функции f ( x ) к площади рассматриваемого прямоугольника. Следовательно, оценка интеграла в данном методе может быть получена по формуле:

где n s – число точек, удовлетворяющих условию y i ≤ f ( x i ) , – полное количество точек, А — площадь прямоугольника.

Можно предложить и другой путь вычисления определенного интеграла, рассматривая его как среднее значение функции f ( x ) на отрезке [ a , b ]:

где x i – последовательность случайных чисел с равномерным законом рас­пределения на отрезке [ a , b ].

3.5 Уточнение найденного интеграла.

Для вычисления интеграла с заданной точностью  проверим условие | F 2 - F 1 |   . Если условие выполняется, то F 2 принимается за искомое значение интеграла. Если условие не выполняется, то последнее значение интеграла F 2 принимается за предыдущее, т. е. F 1 = F 2 . После этого удвоим число точек деления отрезка (в методе Монте-Карло число случайно сгенерированных точек) и вычислим новое значение F 2 . Процесс удвоения N и вычисление F 2 будем продолжать до тех пор, пока не выполнится условие | F 2 - F 1 |   .

3.6 Нахождение интеграла и оценка погрешности.

Найдём значение интеграла с точностью 0.001 и оценим погрешность вычисления интеграла. Для оценки погрешности вычислим значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

3.6.1Метод правых и левых прямоугольников.

Г рафик нахождения интеграла по итерациям: Таблица изменения значения интеграла по итерациям: