Основные формулы и теоремы теории вероятностей
Учитывая широкое применение теории вероятностей в исследованиях производственно-экологической безопасности, приведем ряд важных для этого формул.
Формула полной вероятности
Она позволяет рассчитать меру Р(А) возможности появления события А, которое наступает обязательно совместно с одним из несовместных событий Нi, образующих полную группу, т.е. когда
В этих условиях справедливо, что
где Р(А/Нi) – условная вероятность появления события А после появления события Нi.
Формула Байеса
Она рассматривает в тех же условиях обратную задачу, т.е. определяет вероятность появления события А из-за возникновения его предпосылки Hi:
Формула Бернулли
Она удобна для вычисления вероятности Рт появления ровно т событий в п опытах, при условии что все они проводятся в одинаковых условиях, а вероятность появления данного события в одном опыте равна Р:
где ! – знак факториала, означающий произведение последовательности целых чисел от данной величины до единицы, например 3! = 3 • 2 • 1 = 6, при этом принимается, что 0! = 1.
Как будет показано ниже, первую из приведенных формул удобно применять, например, для прогнозирования среднего ущерба от конкретных происшествий; вторую – при оценке возможного вклада отдельных предпосылок в уже возникшее техногенное происшествие; третью – для решения различных задач по статистическому оцениванию числовых характеристик, задающих распределения подобных случайных событий.
В связи с последним приведем здесь и другие важные формулы, которые будут уже касаться правил преобразования каких-либо параметров, характеризующих конкретные статистические распределения случайных величин. Такие правила получили в теории вероятностей название "теорем о числовых характеристиках", позволяющих осуществлять различные алгебраические действия с теми из них, которые обычно характеризуют первый начальный и второй центральный моменты распределения подобных величин.
Чаще всего подобные операции связаны с нахождением значений математического ожидания и дисперсии с учетом входящих в их выражения постоянных величин, а также с определением этих характеристик после суммирования и перемножения имеющихся там случайных величин.
1. Первый момент постоянной (неслучайной) величины тождественно равен ее значению, а второй центральный момент – нулю:
2. Константа С при величине X выносится за знак моментов следующим образом:
3. Моменты суммы двух случайных величин X и У рассчитывают по формулам
где – корреляционный момент этих двух величин (для независимых случайных величин К = 0).
4. Моменты произведения двух независимых величин X и Y определяются следующим образом:
- (для зависимых величин М(ХУ) = M(X)MY + К, а точной формулы для дисперсии нет).
- 5. Моменты линейной функции с постоянными величинами аi и b находят по формулам
Что касается наиболее часто встречающихся приложений приведенных выше теорем, то они обычно относятся к определению следующих числовых характеристик:
- 1) корреляционного момента K двух случайных величин, связанных линейной функциональной зависимостью типа , который принимает одно из двух крайних значений: 1 или -1, выбор которого зависит от знака постоянного множителя а;
- 2) математического ожидания и дисперсии числа появлений событий типа "отказ" или "происшествие" при нескольких опытах, где на величину этих моментов влияет наличие или отсутствие зависимости между полученными в них результатами:
- а) для независимых испытаний эти моменты равны суммам соответственно вероятностей событий в отдельных опытах и произведения вероятностей их появления рi и непоявления qi в них:
б) в зависимых опытах дисперсия числа появлений подобных событий уже такова:
где р, Р – одинаковая во всех таких опытах вероятность появления искомого события и вероятность появления этого события одновременно в паре опытов (все равно каких).
При этом особый практический интерес для исследования безопасности функционирования сложных технических систем представляют следующие два частных случая:
1) когда возникновение рассматриваемых там событий в любом из опытов влечет за собой с достоверностью его появление в каждом из остальных. Данный случай соответствует условию Р = р, при котором формула (2.21) принимает уже следующий вид:
2) когда возникновение одного события в любом из опытов исключает его появление во всех остальных, что эквивалентно условию Р = 0 и переходу формулы (2.21) в следующую:
Что касается конкретных приложений приведенных здесь способов оценки параметров надежности и показателей безопасности, то они будут рассматриваться в следующих главах.