ЛЕКЦИЯ 18. Дифференциал функции в точке. Производная сложной и обратной функции.

1 ЛЕКЦИЯ 8 Дифференциал функции в точке Производная сложной и обратной функции Дифференциал функции в точке Пусть функция f () определена в некоторой окрестности точки Если приращение функции f () можно представить в виде A ( ) α () где A постоянное число; α ( ) - бесконечно малая функция при то функция f () называется дифференцируемой в точке Главная часть приращения дифференцируемой в точке функции f () то есть A называется дифференциалом функции в точке и обозначается d или df ): ( Если d df ( ) A () то d d Из равенства () следует что функция f () дифференцируема в точке тогда и только тогда когда в этой точке существует конечная производная f ( ) при этом A f ( ) Следовательно d df ( ) f d или f ( ) d d () Геометрический смысл дифференциала Пусть функция f () в точке имеет производную ( tgα ) Тогда в точке M ( ) существует касательная к графику этой функции уравнение которой: ( )( ) f Приращение функции на рис равно величине отрезка NP В то же время из прямоугольного треугольника MNQ получаем: NQ tgα f ( ) d те дифференциал функции d равен величине отрезка NQ Из геометрического рассмотрения видно что величина отрезков NP и NQ различны Таким образом дифференциал ординаты касательной к графику этой функции в точке d функции f () в точке равен приращению M ( f ) ; а приращении

2 функции есть приращение ординаты самой функции f () в точке соответствующее приращению аргумента равному Рис Производные и дифференциалы высших порядков Производная от функции f ( ) (производной первого порядка) называется производной второго порядка от функции f () (или второй производной) и обозначается f ( ) Если дифференцируема производной называется производная от обозначается f n n n () Итак f f n - я производная функции f () то ее n - й Число n называется порядком производной n - й производной функции f () и Дифференциалом n - го порядка функции f () называется дифференциал от дифференциала ( n ) - го порядка этой же функции Таким образом d f n d d f n Дифференцирование сложной функции Рассмотрим следующее важное правило дифференцирования сложной функции или правило дифференцирования композиции функций которое позволяет еще более расширить таблицу производных Это правило называют правилом цепочки Сначала напомним само понятие сложной функции или как говорят иначе понятие композиции функций Композиция функций - это способ задания функции с помощью других функций который по существу является операцией над функциями

3 Если функция ϕ () имеет производную в точке а функция f (u) имеет производную в точке u ϕ() то сложная функция f ( ϕ( )) имеет производную в точке причем f ( u) u () (правило дифференцирования сложной функции) иными словами производная сложной функции f ( ϕ( )) равна произведению производной «внешней функции» f (u) по промежуточной переменной u и производной «внутренней функции» u ϕ по окончательному аргументу Доказательство Напишем приращение функции f (u) в точке u в виде: где lim ( ) ( u ) u ( u u f α ) () α (определение дифференциала) Поделив равенство () на f получим: ( u ) Перейдя к пределу получаем формулу () u u α ( u) () Обратная функция Нахождение производной обратной функции Пусть функция f () имеет производную в точке причем f ( ) Если существует обратная функция ϕ() то она имеет производную в точке f ( ) и ϕ ( ) (7) f ( ) Доказательство Дадим аргументу обратной функции ϕ() некоторое приращение в точке Функция ϕ() получит приращение Следовательно можем записать: Перейдем в этом равенстве к пределу при По условию предел правой части существует и равен f ( ) Следовательно существует предел левой части который по определению равен ϕ Таким образом получаем (7)

5 СЕМИНАР 8 Дифференциал функции в точке Производная сложной и обратной функции Пример Найти производную второго порядка функции 7 Решение Найдем сначала производную первого порядка От производной первого порядка возьмем еще раз производную Пример Найти производную третьего порядка функции Решение ; ; Пример Найти производную функции ( 7) [ ] Решение Пример Найти производную функции Решение tg (tg ) () Пример Найти производную функции Решение Пример Найти производную функции Решение Пример 7 Найти производную функции arc Решение Пример 8 Найти производную функции Решение ( ) 7

6 Пример 9 Найти производную функции Решение Функция () это произведение двух функций f и f поэтому по правилу дифференцирования: Из таблицы производных находим что ( ) ( ln ) ln ( ) ln Значит Пример Найти производную функции ln Решение ( ln ) ( ln ) ( ) ( ln ) ( ) Пример Найти производную функции tg tg Решение tg tg tg Пример Найти производную функции ctg Решение Функция это сложная функция ( ) tg tg u ctg u Тогда по правилу дифференцирования сложной функции u u ctg ctg а из таблицы производных ( ctg ) Таким образом ctg Пример Найти производную функции Решение Используем правило дифференцирования сложной функции: ( ) Функция сложная u u ( ) u f ( u) u Поэтому Пример Найти производную функции Решение 8

7 Пример Найти значение производной функции в точке Решение Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции: Ответ: Пример Найти значение производной функции Решение ; Пример Найти значение производной функции arc Решение Пример 7 Найти значение производной функции Решение Пример 8 Найти значение производной функции arc Решение d d d d arc Так как то поэтому arc Пример 9 Найти значение производной функции a log 9

8 Решение a a > a > Если a ( ln ) ( ) ( log ) Пример Найти производную функции Решение ( ) ln ( ) ( ) ln ( ) ln ln d a d d a ln a ln a d ln ( ) ln ln Пример Найти производную функции Решение ( ) ( ) Пример Найти производную функции Решение Преобразуем эту функцию раскрывая скобки: Пример Найти производную функции ( ) Решение ( ) ( ) где это производная аргумента функции синус Пример Найти производную функции Решение Пример Найти производную функции ln Решение Эту функцию удобно преобразовать пользуясь свойствами логарифмов: ( ) ln Тогда ( ) ( ) Пример Найти производную функции Решение Из таблицы производных ( )

9 Пример 7 Найти производную функции arc Решение Пример 8 Найти производную второго порядка функции ln Решение Далее находим как производную частного: